Beräkna extrempunkt med och utan grafräknare

y(t) är längden på dagen

y'(t) är ökningen av dagslängen

Du skall finna det t där y'(t) är maximal.

Därför får du beräkna y'' och lösa ekvationen y''(t)=0 (du får två lösningar) och verifiera vilken av dem som är en lokal maximipunkt. Det är självklart att lösningen ligger i intervallet [0,180].

Jag vet ej hur man gör med Texas, men jag skulle gissa att man anger en Y1 funktion och sedan sätter "Y2=DER(Y1)" och "Y3=DER(Y2)" där DER är någon inbyggd derivata.

"Manuellt":

Du krånglar till det i onödan. En sinusfunktion ökar som mest när argumentet är 0 eller någon multipel av 2 pi (då är derivatan som stärst, nämligen 1). Vilket värde har x  när 0,017215x-1,394 = 0?

Trinity2: Ja! Det är precis så jag vill kunna lösa en sån här fråga med grafräknaren. Har skummat igenom några tutorials och handboken för Texas ti-82 men hittar bara applikationer som hittar funktionens värde med avseende på det x värde man sätter in,men hittar inga solve funktioner som ger en det specifika x värdet.  Har mailat texas instruments och skickat en screenshot på din lösning så dom vet vad jag menar, Tack så jättemycket för hjälpen! :)

Smaragdalena: Jag räknade ut x värdet på följande sätt.

0,017215x-1,394=0

0,017215x=1.394/0,017215

x=80,975=81

Men jag är lite osäker på vad jag räknade ut. Om en funktion vanligtvis ser ut på följande sätt Asin(kx+v)+b. Är det så att om man sätter kx+v=0 får man fram maxpunkten eftersom man förskjuter sinus kurvan till sin utgångspunkt på grafen som är Y=0? Så om den ursprungliga funktionen hade varit Y=5,51cos(0,017215x-1,394)+12,25 och jag skulle räkna ut samma sak borde jag då ställa upp ekvationen 0,017215x-1,394=1 eftersom cos kurvan utgår från Y=1 på grafen? Och om frågan hade varit motsatt och dom bad om när dagen ökade långsammast ska man då sätta kx+v=-1 eftersom det är det minsta värdet sin och cos kan ha? Förlåt om jag krånglar till det mer, jag försöker verkligen lära mig resonera mig fram till lösningar    

P_kivi skrev:

 

Men jag är lite osäker på vad jag räknade ut. Om en funktion vanligtvis ser ut på följande sätt Asin(kx+v)+b. Är det så att om man sätter kx+v=0 får man fram maxpunkten eftersom man förskjuter sinus kurvan till sin utgångspunkt på grafen som är Y=0?

Nej, du blandar ihop vinkeln med funktionsvärdet.

Om vi kallar vinkeln $u$ och $n$ är ett heltal så gäller det att

• $\sin(u)$ har sitt största funktionsvärde 1 vid vinklarna $u=\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$ och sitt minsta funktionsvärde -1 vid vinklarna $u=-\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$
• $\cos(u)$ har sitt största funktionsvärde 1 vid vinklarna $u=n\cdot2\pi$ och sitt minsta funkrionsvärde -1 vid vinklarna $u=-\pi+n\cdot2\pi$

Använd enhetscirkeln för att övertyga dig själv om att så är fallet.

P_kivi skrev:

Trinity2: Ja! Det är precis så jag vill kunna lösa en sån här fråga med grafräknaren. Har skummat igenom några tutorials och handboken för Texas ti-82 men hittar bara applikationer som hittar funktionens värde med avseende på det x värde man sätter in,men hittar inga solve funktioner som ger en det specifika x värdet.  Har mailat texas instruments och skickat en screenshot på din lösning så dom vet vad jag menar, Tack så jättemycket för hjälpen! :)

Det kan vara så att TI-82 endast har numerisk derivata (vilket förmodligen är beräknat som en differenskvot). Troligen behövs en 'CAS'-räknare för att göra symbolisk derivata och plotta den dynamiskt. Jag vet dock inte om CAS-räknare är godkända. Kanske de är för kraftfulla.

P_kivi skrev:

Smaragdalena: Jag räknade ut x värdet på följande sätt.

0,017215x-1,394=0

0,017215x=1.394/0,017215

x=80,975=81

Men jag är lite osäker på vad jag räknade ut.

 Det du har räknat ut är att dagens längd ökar som snabbast dag 81 på året, d v s ingefär 21 mars (beroende på skottår eller inte), d v s vid vårdagjämningen. Jag antar att x är antalet dager efter nnyår.

Om en funktion vanligtvis ser ut på följande sätt Asin(kx+v)+b. Är det så att om man sätter kx+v=0 får man fram maxpunkten eftersom man förskjuter sinus kurvan till sin utgångspunkt på grafen som är Y=0? Så om den ursprungliga funktionen hade varit Y=5,51cos(0,017215x-1,394)+12,25 och jag skulle räkna ut samma sak borde jag då ställa upp ekvationen 0,017215x-1,394=1 eftersom cos kurvan utgår från Y=1 på grafen?

Om det hade varit en cosinuskurva och du hade velat beräkna när den ökade som snabbast skulle du behäva ta dera på när sin(0,017215x-1,394)=-1 eftersom derivatan för cosinus är minus sinus.

Och om frågan hade varit motsatt och dom bad om när dagen ökade långsammast ska man då sätta kx+v=-1 eftersom det är det minsta värdet sin och cos kan ha? Förlåt om jag krånglar till det mer, jag försöker verkligen lära mig resonera mig fram till lösningar    

När dagen ökar som långsammast är när derivatan är 0 och  andraderivatan är positiv. Detta är strax efter vintersolståndet ungefär 20 december. När vi går på jullov är dagarna som kortast, och när vi kommer tillbaka efter trettonhelgen är det märkbart ljusare både på morgonen och på eftermiddagen!

Okej jag tror jag förstår nu. Så om jag stöter på en fråga i framtiden då jag har en liknande funktion sin(kx+v) eller cos(kx+v) och dom vill veta x värdet för derivatans extrempunkt kan jag lösa ut x från kx+v=0 om det gäller en sinus kurva, och kx+v=-1  om det gäller en cos kurva eftersom y=sin ger Y`=cos och Y=cos ger Y`=-sin.

Tack så mycket för all hjälp allihopa det är guld värt! :)

Viss försiktighet måste observeras.

sin(kx+v) har derivata k cos(kx+v) som är =0 då kx+v=90°+ 180°n, n heltal

cos(kx+v) har derivata –k sin(kx+v) som är =0 då kx+v=180°n, n heltal