Beräkna exakta värdet av integralen

Ja, primitiven till cos(x/3) är 3sin(x/3) och bara att använda den i insättningsformeln.

Med cos(3/x)... då blir det svårare. Dess primitiv går inte längre att utvärdera med standardfunktioner och skulle ligga utanför gymnasiematematiken och även på högskolan är det bara en fråga om hur man kan använda specialfunktioner och numeriska metoder för att approximera integraler involverandes den funktionen.

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_trigonometric_functions#Integrands_involving_only_sine

"sin (x/3)" är "sin ( (1/3) * x)" och detta matchar ett "känt mönster" "sin (a * x)".  "sin (3/x)" matchar däremot inget "känt mönster".

Hej!

Om den "inre integralen" förvirrar dig kan du göra ett variabelbyte som tar bort "inre integraler". Skriv $u = x/3$ vilket ger $x = 3u$ och differentialen $dx = 3 \cdot du$ och integralen blir

    $\displaystyle\int_{u=\pi/6}^{\pi/3}\cos u \cdot 3 \,du = 3\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos u\,du.$