Beräkna exakt.

Om den korta kateten är x så är den långa kateten 2x. Pythagoras ger dig hypotenusans längd. 

Päivi skrev :

Jag hade liknande uppgift tidigare, men nu vet jag inte, vad jag ska göra. Har testat par sätt och kommer inte på något sätt. Uppgiften lyder så här. 

---------------------

I en rätvinklig triangel är den ena kateten dubbelt så lång som den andra kateten. Vinkeln A står mot den längsta kateten. Beräkna exakt. 

a) sin (2A)

Jag provade på att längsta kateten är 2x och kortaste x . Det är inte så man ska lösa det. 

Tar man pythagoras sats men vad ska hittar på för siffror till kateten?. Jag tänkte på enhets cirkel. Problemet sitten längsta sida. Om kortaste är 2 så måste längsta sidan vara 4. Ingenting stämmer med facit. 

Hej , 

Jag är inte helt säker på mitt svar men har försökt med denna uppgift så här sen kan man beräkna sin (2A).

Det ser visserligen rätt ut, men denna uppgift ska du kunna lösa exakt utan hjälp av miniräknaren. Ett tips är att börja utveckla det som efterfrågas. Kan du skriva:

$\sin 2A$ på ett annat sätt?

Svaret ska vara 0. 8. Därför blev jag osäker. 

Hypotenusan skulle då vara 3x^2. Nu tänker jag på dubbla vinkeln. Svaret skall vara 0. 8

Nej hypotenusan är inte $3x^2$, hypotenusan är

$\sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{x^2 + 4x^2} = \sqrt{5x^2} = \sqrt{5}x$

När du väl har hypotenusan kan du beräkna både:

$\sin A$ och $\cos A$.

Päivi skrev :

Svaret ska vara 0. 8. Därför blev jag osäker. 

Eftersom det inte står några siffervärden på kateternas längder så spelar det heller ingen roll hur långa de är, mer än att den ena är dubbelt så lång som den andra.

Därför kan du anta att den ena kateten är 1 och den andra är 2.

Hypotenusan h blir då rotenur(5) enligt Pythagoras sats h^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5.

Vi har alltså att korta kateten är 1, långa kateten är 2 och hypotenusan är rotenur(5).

Vinkeln A står mot den längsta kateten. Det innebär att vinkeln A ligger mellan sen korta kateten och hypotenusan (rita en figur).

Kan du komma vidare nu?

$$\begin{gathered} Pythagoras sats \\ {x}^2+2x^2=5x \\ {1}^2+2^2=5 \\ formell \\ 2·\frac{2x^2}{5x}=\frac{4x^2}{5x}=\frac{4·x·x}{5·x}=\frac{4x}{5} \\ om vi nu kallar x är en etta \\ \frac{4·1}{5}=0.8 \end{gathered}$$

Jag skrev fel här. 

2* 2(x)* (x)= 4 x^2/ 5x= 4* x/5

4*1=4/5

vilket är 0.8

Det är lätt att man inte tänker på det att man ska höja upp 2^2 att det blir 4. Man fastnar vid x  eftersom det står x^2. Det ska vara 1^2. 

Den här uppgiften har jag löst redan plus B uppgiften. 

Jag somnade bort från räkningen. Var inte tillräckligt pigg. 

Päivi skrev :

Jag skrev fel här. 

2* 2(x)* (x)= 4 x^2/ 5x= 4* x/5

4*1=4/5

vilket är 0.8

Jag förstår inte vad du gör här. Räknade du enligt följande?

$\sin (2A) = 2\sin A \cos A$

Vad fick du $\sin A$ respektive $\cos A$ till?

Ja, det gjorde jag fast jag använde x i allt. Hypotenusan fick jag 5x 

2x^ 2= 4x

2*x*x= 2x^2= 4x*x

4*x*x/5* x 

Förkortar man bort x från täljaren och nämnaren. Har man kvar 4x/5

sedan får man förvandla x till ett. 

4* 1/5= 0.8

det här gjorde mig lite fundersam först, men tillslut begrep jag, vad jag gjorde. 

Man kan använda även siffror utan att använda x i allt. Det blir lättare då. 

Jag förstår inte alls hur du räknar i det där inlägget. Men det stämmer inte att kvoten är $\frac{4x}{5}$, utan om man har räknat allt rätt så ska kvoten vara $\frac{4}{5}$.

Hypotenusan är inte 5x - om du har tre pinnar som är 1x, 2x respektive 5x kan du inte lägga ihop dem till en triangel (pröva!). Den längsta pinnen måste vara kortare än summan av de båda andra för att det skall kunna bli en triangel. 

Pythagoras sats ger dig att $$\begin{gathered} (1x{)}^2 + (2x{)}^2 = h^2 \\ {x}^2 + 4x^{2 }= h^2 \\ 5x^2= h^2 \\ \sqrt{5}x = h \end{gathered}$$ 

(minusvarianten går bort, eftersom hypotenusan måste vara större än 0).

Päivi skrev :

Ja, det gjorde jag fast jag använde x i allt. Hypotenusan fick jag 5x 

2x^ 2= 4x

2*x*x= 2x^2= 4x*x

4*x*x/5* x 

Förkortar man bort x från täljaren och nämnaren. Har man kvar 4x/5

sedan får man förvandla x till ett. 

4* 1/5= 0.8

det här gjorde mig lite fundersam först, men tillslut begrep jag, vad jag gjorde. 

Jag begriper inte heller vad du har gjort här.

• Hypotenusan är inte 5x.
• 2x^ 2 är inte lika med 4x
• 2*x*x= 2x^2 är inte lika med 4x*x
• Det ska inte finnas med något x alls i uttrycket för sin(A)

 Lösningsförslag 1, använd obekant x för den korta katetens längd:

Om du säger att den ena kateten är $x$ så är den andra $2x$ och hypotenusan är $x\sqrt{5}$.

Eftersom A står emot den längsta kateten så är $\sin \left(A\right) = \frac{2x}{x\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

Då är $\cos \left(A\right) = \frac{x}{x\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

Med formeln för dubbla vinkeln får vi att $\sin \left(2A\right)=2·\sin \left(A\right)·\cos \left(A\right) = 2·\frac{2}{\sqrt{5}}·\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$ 

Lösningsförslag 2, sätt den korta katetens längd till 1 och den långa katetens längd till 2:

Om du säger att den ena kateten är 1 så är den andra 2 och hypotenusan är $\sqrt{5}$.

Eftersom A står emot den längsta kateten så är $\sin \left(A\right) = \frac{2}{\sqrt{5}}$ 

Då är $\cos \left(A\right) = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Med formeln för dubbla vinkeln får vi att $\sin \left(2A\right)=2·\sin \left(A\right)·\cos \left(A\right) = 2·\frac{2}{\sqrt{5}}·\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$