Beräkna en triangels area och en vinkel vid en viss punkt

Rita en tydlig figur med de tre punkterna. Bilda vektorer mellan punkterna.

a) Använd samband mellan kryssprodukt och area av parallellogram

b) Använd att skalärprodukten innehåller cosinus för mellanliggande vinkel.

D4NIEL skrev:

Rita en tydlig figur med de tre punkterna. Bilda vektorer mellan punkterna.

a) Använd samband mellan kryssprodukt och area av parallellogram

b) Använd att skalärprodukten innehåller cosinus för mellanliggande vinkel.

För att hitta triangelns area använde jag mig av sambandet mellan kryssprodukten och arean av en parallellogram. För att hitta vinkeln vid punkt A kan vi använda oss av det faktum att skalärprodukten ($a\cdot b=\| a\| \| b\| \cos \left( \theta \right)$) innehåller cosinus för vinkeln mellan två vektorer.

För att hitta triangelns area börjar vii med att hitta två vektorer som sträcker sig från punkt A, till punkt B respektive C. Vi kan sedan ta kryssprodukten ($a\times b$) av dessa två vektorer, vilket kommer att ge oss en vektor som står vinkelrätt mot planet som triangeln befinner sig i. Arean av triangeln blir sedan hälften av arean av parallellogrammen som bildas av denna vektor och vektorerna AB och AC.

För att hitta vinkeln vid punkt A ($\theta_{A}$) kan vi använda oss av skalärprodukten av vektorerna AB och AC ($AB\cdotAC=\| a\| \| b\| \cos \left( \theta \right)$). Vi kan sedan använda oss av definitionen av skalärprodukten för att hitta cosinus av vinkeln mellan dessa två vektorer. Slutligen kan vi använda oss av invers cosinusfunktionen för att hitta själva vinkeln.

$\arcsin \left( \sin \left( \theta_{A} \right) \right) =\arcsin \left( \frac{\left| AB\times AC\right| }{\left| AB\right| \left| AC\right| } \right) =\arcsin \left( \frac{\sqrt{146} }{3\sqrt{19} } \right)$
$\theta_{A} =\arcsin \left( \frac{\sqrt{146} }{3\sqrt{19} } \right)$

EDIT: Fick också fram att $\left| AB\times AC\right| =\begin{vmatrix}\hat{i} &\hat{j} &\hat{k} \\ -3&-1&-3\\ 1&-2&-2\end{vmatrix} \begin{matrix}\hat{i} &\hat{j} \\ -3&-1\\ 1&-2\end{matrix} =-4\hat{i} -9\hat{j} +7\hat{k}$

då

$B=\langle -2,\ 1,\ 0\rangle$ , $A=\langle 1,\ 2,\ 3\rangle$ , $C=\langle 2,\ 0,\ 1\rangle$

och

$\vec{BA} = B -A=\langle -2-1,\ 1-2,\ 0-3\rangle =\langle -3,\ -1,\ -3\rangle$

samt

$\vec{AC} = C-A =\langle 2-1,\ 0-2,\ 1-3\rangle =\langle 1,-2,-2\rangle$

Tänk på att triangelns area nu ges av halva absolutbeloppet av vektorn, dvs

$A=\frac{1}{2}\| a\times b\|$ (halva parallellogramarean)

Du måste alltså räkna ut längden av $(-4,-9,7)$ och dela med två.

Tänk också på att $B-A$ är en vektor som pekar från A till B, oftast kallar man den $\vec{AB}$, i linje med hur du döpte $\vec{AC}$. När du definierade vektorn på slutet skrev du $\vec{BA}$ vilket egentligen är $-\vec{AB}=-(B-A)=A-B$

Notera också att du skriver att du tänker använda skalärprodukten för att finna vinkeln , men sedan använder du kryssprodukten för att finna den. Det går naturligtvis lika bra, men helst ska man göra det man skriver och skriva det man gör :)