Beräkna en primitiv till funktionen samt lösa ekvation

Gör en tråd till varje uppgift, det blir så rörigt annars.

Hur ser den första funktionen ut egentligen? Så som du har skrivit den borde den kunna förenklas till $f(x) = 2 \sqrt x$ och då borde den inte vara så svår att hitta en primitiv funktion till. Eller skall den vara $f\left(x\right) = \sqrt{1+3\sqrt{x}}$ ?

Även om du tycker att du har fått orimliga svar är det bra om du skriver hur du har tänkt, så kan vi se var det (eventuellt) har blivit fel. Vi som svarar här är bra på matte, men usla på tankeläsning.

Smaragdalena skrev :

Gör en tråd till varje uppgift, det blir så rörigt annars.

Hur ser den första funktionen ut egentligen? Så som du har skrivit den borde den kunna förenklas till $f(x) = 2 \sqrt x$ och då borde den inte vara så svår att hitta en primitiv funktion till. Eller skall den vara $f\left(x\right) = \sqrt{1+3\sqrt{x}}$ ?

Även om du tycker att du har fått orimliga svar är det bra om du skriver hur du har tänkt, så kan vi se var det (eventuellt) har blivit fel. Vi som svarar här är bra på matte, men usla på tankeläsning.

Andra alternativet var rätt, f(x) = $\sqrt{1+3\sqrt{x}}$. Okej ska tänka på det till nästa gång! :)

Jag har verkligen ingen aning då jag inte fått derivatan av funktionen för att beräkna dess primitiv? 

Har ni lärt er att göra variabelsubstitutioner? I sådana fall så bör du göra substitutionen

$t = 1 + 3\sqrt{x}$

för att hitta de primitiva funktionerna.

Stokastisk skrev :

Har ni lärt er att göra variabelsubstitutioner? I sådana fall så bör du göra substitutionen

$t = 1 + 3\sqrt{x}$

för att hitta de primitiva funktionerna.

Jag håller med om att det är så man löser den. Men går man igenom variabelbyte för att beräkna primitiva funktioner på gymnasiet? Det känns lite som överkurs...

Min lärare har inte gått igenom detta. Då får jag kolla upp variabelsubstitutioner och försöka lösa uppgiften! 

Tack för hjälpen! Skriver det jag kom fram till sen så kan ni kanske guide:a mig! :)

Här är en länk som kan vara en början iaf:

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/INT_VARIABELBYTE.pdf

SvanteR skrev :

Här är en länk som kan vara en början iaf:

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/INT_VARIABELBYTE.pdf

Tack så mycket för länken, så om jag förstått rätt så har jag fått svaret på en integral som jag ska försöka få fram integralen till? 

Alltså ska $\sqrt{4\sqrt{x}}$ ---> en integral? 

Men det jag inte förstår riktigt är vad substutionen är? Eftersom det står inom ett parantes? 

Jag kollade på Uppgift 5 expempel 4 i länken eftersom den var lik min uppgift, men förstår inte ''(Tipps) substitution'' delen ? Vart försvann roten ur tecknet? x^2 + 5 = t, derivatan av det blir 2xdx som är dt (derivatan av t). Tror jag har gjort det för rörigt för mig själv...

Jag måste bara kolla om du har skrivit uppgiften helt korrekt? Är alltså uppgiften avskriven ord för ord? För jag tycker att det är konstigt om du ska hitta primitiva funktionerna till den där om ni inte gått igenom variabelsubstitution.

Stokastisk skrev :

Jag måste bara kolla om du har skrivit uppgiften helt korrekt? Är alltså uppgiften avskriven ord för ord? För jag tycker att det är konstigt om du ska hitta primitiva funktionerna till den där om ni inte gått igenom variabelsubstitution.

Uppgiften är helt korrekt, jag pluggar nämligen till byggingenjör men han säger att detta är matte 4 och förväntar sig att vi ska kunna detta? Jag personligen gick bara matte 3 och de i klassen som gick matte 4 har aldrig gjort detta heller?

Okej, ja det kanske förklarar varför det inte var helt logisk uppgift. Men när man gör variabelbytet så har du att

$t = 1 + 3\sqrt{x}$

Deriverar man båda sidor så får man

$dt = \frac{3}{2\sqrt{x}}dx$

Nu kan man använda att $\sqrt{x} = \frac{t - 1}{3}$ och få att

$\frac{2(t - 1)}{9}dt = dx$

Så använder man detta så får man att

$\int \sqrt{1 + 3\sqrt{x}} dx = \int \sqrt{t}\frac{2(t - 1)}{9}dt = \frac{2}{9} \int (t^{3/2} - t^{1/2})dt$

Där den sista integralen är enkel att beräkna.

Stokastisk skrev :

Okej, ja det kanske förklarar varför det inte var helt logisk uppgift. Men när man gör variabelbytet så har du att

$t = 1 + 3\sqrt{x}$

Deriverar man båda sidor så får man

$dt = \frac{3}{2\sqrt{x}}dx$

Nu kan man använda att $\sqrt{x} = \frac{t - 1}{3}$ och få att

$\frac{2(t - 1)}{9}dt = dx$

Så använder man detta så får man att

$\int \sqrt{1 + 3\sqrt{x}} dx = \int \sqrt{t}\frac{2(t - 1)}{9}dt = \frac{2}{9} \int (t^{3/2} - t^{1/2})dt$

Där den sista integralen är enkel att beräkna.

Vad hände med $\sqrt{1+3}$ ? Hur fick du t = 1+ 3 $\sqrt{x}$ ? Är det en regel som säger att roten ur försvinner?

Ja alltså när man gör en variabelsubstitution så drar man fram den ur en hatt. Man får helt enkelt "gissa" vilken substitution som kommer göra integralen lättare. I detta fall så "gissade" jag på att $t = 1 + 3\sqrt{x}$ skulle göra integralen lättare, vilket det också gjorde.

Jag har alltså inte trollat bort några roten ur eller något sånt, utan jag bara bestämmer att nu ska jag låta t vara lika med $1 + 3\sqrt{x}$ och från det så skriver jag om integralen i termer av t i stället för i termer av x.

Men mitt inlägg kanske inte direkt fungerar som läromaterial för hur man gör variabelsubstitutioner, utan eftersom du är helt blank på det så rekommenderar jag att du letar fram det i någon litteratur.