Beräkna en dubbelintegral med dess triangelhörn

Ska beräkna följande integral $\iint_D y dxdy$ där D={en triangel med hörn (0,0), (2,1) och (1,2)}

jag tänkte att jag ska skulle räkna ut alla de linjerna (den rosa, den orange och den lila) och få ut dess sanna y=kx+m, räta linje, för att bygga en snygg integral på så sätt. Men det blev ju bara jättegrötigt.

Tips?

Har du jobbat med variabelsubstitution? Man kan räkna ut den genom att göra variabelbytet

$\{\begin{cases} x = 2 u + v \\ y = u + 2 v \end{cases}$

för då kommer triangeln att avbildas till triangeln med hörn i (0,0), (1,0) och (0,1), vilket är ett enklare område att jobba med. Funktionaldeterminanten är då

$|\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix}| = |\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}| = 3 .$

Integralen borde då bli

$\iint y d x d y = 3 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - u} u + 2 v d u d v = 3 \int_{0}^{1} {[u v + v^{2}]}_{0}^{1 - u} d u,$

vilket ger

$3 \int_{0}^{1} u (1 - u) + {(1 - u)}^{2} d u = \frac{3}{2} .$

I integralen ovan integrerar $v$ jag från 0 till linjen $u + v = 1$ i uv-planet. Skissa hur triangeln ser ut!

Annars kan man räkna ut den direkt genom att dela upp integrationsområdet vid $x = 1$ , där triangeln har sin "spets". Då fås

$\iint y d x d y = \int_{0}^{1} \int_{x / 2}^{2 x} y d x d y + \int_{1}^{2} \int_{x / 2}^{3 - x} y d x d y$ .

Den nedre integrationsgränsen för $y$ fås från linjen som går genom punkten $(0, 0)$ och $(2, 1)$ och den övre integrationsgränsen fås på samma sätt. Det kan vara bra att räkna ut integralen även på detta sätt som en kontroll. Det ska, om jag räknat rätt ovan, ge samma svar. Jag lämnar det till dig att genomföra den senare beräkningen.

Happyeagle skrev:
Har du jobbat med variabelsubstitution? Man kan räkna ut den genom att göra variabelbytet
$\{\begin{cases} x = 2 u + v \\ y = u + 2 v \end{cases}$

för då kommer triangeln att avbildas till triangeln med hörn i (0,0), (1,0) och (0,1), vilket är ett enklare område att jobba med. Funktionaldeterminanten är då
$|\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix}| = |\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}| = 3 .$
Integralen borde då bli
$\iint y d x d y = 3 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - u} u + 2 v d u d v = 3 \int_{0}^{1} {[u v + v^{2}]}_{0}^{1 - u} d u,$
vilket ger
$3 \int_{0}^{1} u (1 - u) + {(1 - u)}^{2} d u = \frac{3}{2} .$
I integralen ovan integrerar $v$ jag från 0 till linjen $u + v = 1$ i uv-planet. Skissa hur triangeln ser ut!
Annars kan man räkna ut den direkt genom att dela upp integrationsområdet vid $x = 1$ , där triangeln har sin "spets". Då fås

$\iint y d x d y = \int_{0}^{1} \int_{x / 2}^{2 x} y d x d y + \int_{1}^{2} \int_{x / 2}^{3 - x} y d x d y$ .
Den nedre integrationsgränsen för $y$ fås från linjen som går genom punkten $(0, 0)$ och $(2, 1)$ och den övre integrationsgränsen fås på samma sätt. Det kan vara bra att räkna ut integralen även på detta sätt som en kontroll. Det ska, om jag räknat rätt ovan, ge samma svar. Jag lämnar det till dig att genomföra den senare beräkningen.

Är med på det du gör.. Men försöker kanske hitta ett sätt, när man ska använda variabel.sub. i framtiden. Idé?

Svara