18 svar

241 visningar

Lovelita behöver inte mer hjälp

Beräkna dubbelintegralen

Uppgiften lyder:

I = $\int \int_{D} \frac{1}{x + y} d x d y D ä r D ä r d e n k v a d r a t s o m h a r h ö r n i p u n k t e r n a (1, 0), (0, 1), (2, 1), (1, 2) .$

Hur bör jag gå tillväga? Tänker att jag borde börja med att ta fram ekvationerna för begränsningslinjerna mellan punkterna? Men vad gör jag sen egentligen?

Börja med att rita upp de fyra punkterna. Fundera på om det finns något smart sätt att göra om kvadraten så att den är parallell med koordinataxlarna u och v istället genom att välja u och v på ett smart sätt.

Smaragdalena skrev:
Börja med att rita upp de fyra punkterna. Fundera på om det finns något smart sätt att göra om kvadraten så att den är parallell med koordinataxlarna u och v istället genom att välja u och v på ett smart sätt.

Tack Smaragdalena! Ska försöka göra det.

Smaragdalena skrev:
Börja med att rita upp de fyra punkterna. Fundera på om det finns något smart sätt att göra om kvadraten så att den är parallell med koordinataxlarna u och v istället genom att välja u och v på ett smart sätt.

Har ritat upp de fyra punkterna och fått fram en fyrhörning.

Om jag vill göra kvadraten parallell med koordinataxlarna u och v så sätter jag att

x + y = u, x − y = v. Bör jag utifrån det ta fram intervallet?

Rita upp kvadraten och lista ut i vilka intervall u och v skall ligga.

PATENTERAMERA skrev:
Rita upp kvadraten och lista ut i vilka intervall u och v skall ligga.

Tack! Tror jag förstår hur jag ska göra.

Jag har använt mig av https://www.geogebra.org/graphing?lang=sv

för att rita upp punkterna. Försöker knappa in så att jag får fram mer detaljerade värden men funkar inte av någon anledning.

Gör det för hand istället, det är mycket lättare.

Smaragdalena skrev:
Gör det för hand istället, det är mycket lättare.

Ja, det är nog på tiden att jag lär mig rita för hand! Har helt glömt bort hur man gör. Ska läsa lite på sen så återkommer jag!

Här har jag ritat upp de fyra linjerna som utgör kvadratens sidor, alltså y = x+1, y = x-1, y = 1-x och y = 3-x. Dessa linjer kan skrivas om till x-y = -1, x-y = 1, x+y = 1 respektive x+y = 3

Sätt x+y = u och x-y = v. Då får du linjerna u = 1 och u = 3 respektive v = -1 och v = 1. Rita upp den nya kvadraten.

Kommer du vidare?

Smaragdalena skrev:

Här har jag ritat upp de fyra linjerna som utgör kvadratens sidor, alltså y = x+1, y = x-1, y = 1-x och y = 3-x. Dessa linjer kan skrivas om till x-y = -1, x-y = 1, x+y = 1 respektive x+y = 3

Sätt x+y = u och x-y = v. Då får du linjerna u = 1 och u = 3 respektive v = -1 och v = 1. Rita upp den nya kvadraten.

Kommer du vidare?

Tack!!

Då bör intervallet vara:

v= −1 ≤ v ≤ 1.

och

u= 1 ≤ u ≤ 3

Nu har du ett enklare område att integrera över, men du behöver göra om integranden till en funktion av u och v. Hur kommer integranden att se ut?

Smaragdalena skrev:
Nu har du ett enklare område att integrera över, men du behöver göra om integranden till en funktion av u och v. Hur kommer integranden att se ut?

Om integralen ligger ovannämnda området borde vi få:

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \int_{1}^{3} \frac{1}{x + y} d x d y$

När jag lägger in det i räknaren får jag 2ln(2)

EDIT: Eftersom det är en funktion av u och v vi vill ha i det nya området skriver jag om integralen på följande sätt

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u d v$

Ja, den sista integralen ser rätt ut. Men hur får du den till att bli 2ln(2)?

PATENTERAMERA skrev:
Ja, den sista integralen ser rätt ut. Men hur får du den till att bli 2ln(2)?

Tyckte också att räknaren gav ett konstigt resultat.

Kanske fel på inmatningen.

Bör nog integrera för hand istället.

Jag har kommit fram till följande:

$P r o b l e m :$

$B e r ä k n a d u b b e l i n t e g r a l e n I = \iint_{D} \frac{1}{x + y} d x d y D ä r D ä r d e n k v a d r a t s o m h a r h ö r n i p u n k t e r n a (1, 0), (0, 1) (2, 1), (1, 2) L ö s n i n g : V i b ö r j a r m e d a t t t a f r a m d e f y r a l i n j e r n a m e l l a n p u n k t e r n a (1, 0), (0, 1), (2, 1), (1, 2), v i l k a b l i r x + y = - 1 . x - y = 1, x + y = 1 o c h x + y = 3 . V i u t f ö r d å v a r i a b e l s u b s t i t u t i o n s o m b l i r x + y = u, x - y = v . V i h a r n u e t t n y t t o m r å d e s o m v i k a n s k r i v a o m i n t e g r a l e n i m e d t v å d u b b e l o l i k h e t e r n ä m l i g e n, 1 \leq u \leq 3 o c h - 1 \leq v \leq 1 . M e d o m r å d e t f å r v i i n t e g r a n d e n t i l l \int_{- 1}^{1} \int_{1}^{3} (\frac{1}{u}) d u d v N u i n t e g r e r a r v i i n t e g r a n d e n i d e n y a v a r i a b l e r n a u o c h v s o m b l i r l i k a m e d \ln 3$

Hur fick de fram det värdet på integralen?

Smaragdalena skrev:
Hur fick de fram det värdet på integralen?

Alltså ursäkta men jag får verkligen inte till detta. (Glömde förresten skriva in 1/2 i mitt förra inlägg.)

Såhär har jag i alla fall fått till det:

$V i h a r a t t \int_{- 1}^{1} \int_{1}^{3} \frac{1}{x + y} d x d y V i b ö r j a r m e d a t t i n t e g r e r a i n r e f u n k t i o n e n m e d a v s e e n d e p å x, d ä r y ä r e n k o n s \tan t a l l t s å \int_{1}^{3} \frac{1}{x + y} d x = \int_{- 1}^{1} [\ln 3 + y - \ln 1 + y] d y n u s t o p p a r v i i n g r ä n s e r n a o c h i n t e g r e r a r y t t r e f u n k t i o n e n m e d a v s e e n d e p å y \ln 3 + 1 - \ln 1 - 1 = 4 \ln - 0 v i l k e t j u b l i r o d e f i n e r a t s å k l a r t ?$

I mina andra försök och beräkningar som jag har gjort har jag fått exakt samma värde som räknaren nämligen 2ln2 eftersom jag multiplicerar med konstanten 1/2.

Har läst på och försökt fatta, men hittar inte något exempel som går att applicera på mitt problem, (finns säkert massor iförsig men i sådant fall vet jag inte hur jag skall tillämpa det i mitt fall).

All vägledning uppskattas!

Du kan inte göra som du gör, eftersom det enklare integrationsområdet bara gäller om du integrerar med de nya variablerna u och v.

Du hade tidigare fått fram att integralen kunde skrivas om som

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u d v$ .

Vad får du om du integrerar den?

PATENTERAMERA skrev:
Du kan inte göra som du gör, eftersom det enklare integrationsområdet bara gäller om du integrerar med de nya variablerna u och v.

Du hade tidigare fått fram att integralen kunde skrivas om som

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u d v$ .

Vad får du om du integrerar den?

Oj vad pinsamt! Ursäkta mitt trams! Självklart är det ju SÅ! Vi fick ju fram ett nytt område med nya variabler att integrera, som dessutom blev enklare att integrera pga variabelbytet.

Nu är jag lite för trött för att skriva uträkningen ordentligt, redigerar imorgon så att det blir tydligare för den som kanske läser denna tråd och undrar.

Men vi har ju ln u (givet regeln ∫(1/x) dx = ln x) vi börjar med x som har gränserna 3 och 1. Stoppar vi in 1 får vi ln(1) som ju ger 0. Stoppar vi in övre gränsen får vi ln (3). Det ger oss ln(3)-ln(0) = ln(3).

Nu går vi vidare till dy, med gränserna 1 och -1. Stoppar vi in -1 i y, multiplicerar vi och får -ln 3, multiplicerar vi med 1 får vi nu ln 3 + ln 3 = 2ln 3ln

Nu återstår det att multiplicera med konstanten 1/2 vilket slutligen efter enkel beräkning ger oss ln 3.

Det är i princip så som jag demonstrerade i mitt förra inlägg fast med de nya variablerna istället som underlättade lite.

Tusen TACK för er hjälp och tålamod!

Svara

Visa senaste svar