Beräkna dubbelintegral, variabelbyte

Det kan inte bli noll om integranden är positiv, vilket den ju är på nästan hela området.

Laguna skrev:

Det kan inte bli noll om integranden är positiv, vilket den ju är på nästan hela området.

Okej, tack för snabbt svar, då vet jag i alla fall att jag gjort fel någonstans! Får jag fråga vart det gick snett i min uträkning? 

Har jag satt upp intervallen fel? För om u=8x+12y och v=8x-12y är fel så blir det ju fel i resten av uträkningen.

Jag förstår inte riktigt din omformulering av D, men bortsett från den så kan u+v inte vara rätt integrand över hela området. u+v är ju negativ på halva området.

Kan du visa i en figur hur du har tänkt med u och v?

Laguna skrev:

Jag förstår inte riktigt din omformulering av D, men bortsett från den så kan u+v inte vara rätt integrand över hela området. u+v är ju negativ på halva området.

Kan du visa i en figur hur du har tänkt med u och v?

Inte jag heller, det finns 1 uppgift i vår lärobok som liknar denna uppgift, och det är utefter det lösningsförslaget som vi gjort vårt försök. 

På den uppgiften har vi intervallet |x|+|y|$\le$1. 

Och lösningsförslaget ser ut så här: 

Men detta kanske inte är applicerbart på vår uppgift. Jag är helt lost i alla fall, och tipset som vi fick i uppgiften säger mig ingenting.

Ta en kvadrant i taget bara.

Du använde inte tipset.

x = 12u

y = 8v.

Då blir området $\left|u\right|+\left|v\right|\le 1$.

$\frac{\partial \left(x, y\right)}{\partial \left(u, v\right)}=96$.

PATENTERAMERA skrev:

Du använde inte tipset.

x = 12u

y = 8v.

Då blir området $\left|u\right|+\left|v\right|\le 1$.

$\frac{\partial \left(x, y\right)}{\partial \left(u, v\right)}=96$.

Har vi fått rätt gränser nu? Det kanske är lite svårt att se när vi ritade upp det på whiteboarden.

Som integranden ser ut så får man väl samma bidrag till integralen i alla kvadranter.

Jag skulle beräkna integralen över triangeln i första kvadranten och multiplicera med 4. I första kvadranten kan man ta bort beloppstecknen och bara ha u + v. Om man känner till var tyngdpunkten ligger i en triangel behöver man inte ens utföra någon integral.

PATENTERAMERA skrev:

Som integranden ser ut så får man väl samma bidrag till integralen i alla kvadranter.

Jag skulle beräkna integralen över triangeln i första kvadranten och multiplicera med 4. I första kvadranten kan man ta bort beloppstecknen och bara ha u + v. Om man känner till var tyngdpunkten ligger i en triangel behöver man inte ens utföra någon integral.

Vilka gränser gäller för triangeln i första kvadranten? Vi tänker att den blir ${\int }_0^{1-u}(u+v) dv =\hspace{0.17em}\frac{-u^2+1}{2}$

$-\frac{{96}^2}{2}{\int }_0^1{u}^2-1 du =\hspace{0.17em}3072$, så vår triangel i första kvadrant är 3072?

dvs att vårt svar är 3072*4=12288?

Ja, ser ut som jag får samma. Stämmer det med facit?