Beräkna Dnf

Ja, det finns generella metoder. Ett sätt är att du testar att derivera uttrycket några gånger och ser om du kan se ett mönster, och sedan försöka konstruera en sluten formel för $n$:te derivatan. Alltså som du gjorde på den tidigare uppgiften. Det är absolut inget fel med att göra det, även om det existerar mer generella, "snyggare" metoder som du kanske inte har lärt dig än. Det är absolut inte "omatematiskt" utan att testa sig fram och göra så kallade induktiva resonemang (ej att förväxlas med matematisk induktion, en bevisteknik).

Om man vill, kan man dela upp problemet i delar enligt följande:

Om $f(x) = x^k$, vad är $f'(x)$? Vad är $f''(x)$? Vad är n:te derivatan $f^{(n)}(x)$?

Om $f(x) = e^x$, vad är $f^{(n)}(x)$?

För två godtyckliga funktioner $f(x)$ och $g(x)$, vad är derivatan $D(f(x)g(x))$? Vad är andraderivatan $D^2(f(x)g(x))$? Vad är n:te derivatan $D^n(f(x)g(x))$?

Det finns formler för alla dessa, som du kan använda för att bestämma $D^n$ för funktioner som t.ex. $x^3 e^x$.

Gustor skrev:

Ja, det finns generella metoder. Ett sätt är att du testar att derivera uttrycket några gånger och ser om du kan se ett mönster, och sedan försöka konstruera en sluten formel för $n$:te derivatan. Alltså som du gjorde på den tidigare uppgiften. Det är absolut inget fel med att göra det, även om det existerar mer generella, "snyggare" metoder som du kanske inte har lärt dig än. Det är absolut inte "omatematiskt" utan att testa sig fram och göra så kallade induktiva resonemang (ej att förväxlas med matematisk induktion, en bevisteknik).

Om man vill, kan man dela upp problemet i delar enligt följande:

Om $f(x) = x^k$, vad är $f'(x)$? Vad är $f''(x)$? Vad är n:te derivatan $f^{(n)}(x)$?

Om $f(x) = e^x$, vad är $f^{(n)}(x)$?

För två godtyckliga funktioner $f(x)$ och $g(x)$, vad är derivatan $D(f(x)g(x))$? Vad är andraderivatan $D^2(f(x)g(x))$? Vad är n:te derivatan $D^n(f(x)g(x))$?

Visa spoiler

$n$:te derivatan av en produkt $f(x)g(x)$ är kanske lite klurigare, men testa att derivera ett par gånger och se om du ser något mönster. Sedan kan du kolla upp General Leibniz Rule.

Det finns formler för alla dessa, som du kan använda för att bestämma $D^n$ för funktioner som t.ex. $x^3 e^x$.

Det gick inte så bra för mig att analysera $f\left(x\right)=x^k$och dess derivata.... Eller det blev väldigt rörigt med en massa grader på k. Sen försökte jag mig på $f\left(x\right)=x^3$och dess derivata men där kunde jag inte se något mönster.... Alltså ingen framgång med en formel för n:te derivatan.

Om $f(x)=x^k$, så är

$f'(x) = kx^{k-1}$. Applicerar vi denna regel igen så fås att

$f''(x) = k(k-1)x^{k-2}$. Tredjederivatan blir

$f^{(3)}(x) = k(k-1)(k-2)x^{k-3}$. Om $n\leq k$, så är alltså n:te derivatan

$f^{(n)}(x) = k(k-1)(k-2)\dots(k-(n-1))x^{k-n}$, eller $\frac{k!}{(k-n)!}x^{k-n}$.

Om $n > k$, så är $f^{(n)}(x) = 0$.

Till exempel är fjärdederivatan av $x^{10}$ lika med

$10\cdot 9\cdot 8 \cdot 7 \cdot x^6$.

Tiondederivatan blir

$10\cdot 9 \cdot 8 \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 \cdot x^0 = 10!$, och elftederivatan är derivatan av en konstant, alltså lika med 0.

Gustor skrev:

Om $f(x)=x^k$, så är

$f'(x) = kx^{k-1}$. Applicerar vi denna regel igen så fås att

$f''(x) = k(k-1)x^{k-2}$. Tredjederivatan blir

$f^{(3)}(x) = k(k-1)(k-2)x^{k-3}$. Om $n\leq k$, så är alltså n:te derivatan

$f^{(n)}(x) = k(k-1)(k-2)\dots(k-(n-1))x^{k-n}$, eller $\frac{k!}{(k-n)!}x^{k-n}$.

Om $n > k$, så är $f^{(n)}(x) = 0$.

Till exempel är fjärdederivatan av $x^{10}$ lika med

$10\cdot 9\cdot 8 \cdot 7 \cdot x^6$.

Tiondederivatan blir

$10\cdot 9 \cdot 8 \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 \cdot x^0 = 10!$, och elftederivatan är derivatan av en konstant, alltså lika med 0.

Ok tack. Nu har jag två uttryck för n:te derivatan. Vad blir steg två? Att multiplicera dessa två?

Se mitt första inlägg. Om du vill beräkna n:te derivatan av en produkt $f(x)g(x)$ av två funktioner, så behöver du dels veta n:te derivatan av $f$ och $g$, och också vad n:te derivatan av en produkt blir (alltså en slags generaliserad produktregel).

Gustor skrev:

Se mitt första inlägg. Om du vill beräkna n:te derivatan av en produkt $f(x)g(x)$ av två funktioner, så behöver du dels veta n:te derivatan av $f$ och $g$, och också vad n:te derivatan av en produkt blir (alltså en slags generaliserad produktregel).

Detta har jag kommit fram till. Jag antar att det är lämpligt att sätta n=3 eftersom derivatan för x^3 sen blir noll? Jag tänkte använda mig av leibniz formel nu men vet inte riktigt hur. Ska jag på något sätt byta ut min "generella formel" mot x^3?