Beräkna den sammanlagda arean av det skuggade området

De beräknar den första gången då kurvan korsar $x$-axeln ($x = \pi/6$) och inser sedan att om kurvan korsar $x$-axeln där kommer den ligga över $x$-axeln tills den korsar den igen, vilket sker vid $x=\pi/2$. De stoppar helt enkelt in $n=0$ och $n=1$ i sin lösningsmängd.

EDIT: De har gjort fel i sin lösningsmängd. Det ska stå $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}+n\frac{\pi}{3}$

Jag tänkte först också att de stoppar in n = 1, men det blir ju då 5pi/6, och hur kan det vara densamma som pi/2? 

Gjorde ett tillägg till mitt ursprungsinlägg! :)

Åh missade! Nu ser jag! Det förklarar saken!

Fast vänta, hur blir det n*pi/3? Vart försvinner 2an? 

Var tycker du att det ska finnas en tvåa? Jag tänker så här:

$\displaystyle \cos 3x=0\iff3x=\frac{\pi}{2}+n\pi\iff x=\frac{\pi}{6}+n\frac{\pi}{3}$

I början står det ju: 3x = +/- pi/2 + n*2pi och då tänker jag att man dividerar med 3 på båda sidorna så att det blir n*2/3pi.

Ah, nu förstår jag hur de har tänkt. De tänker att de får med hälften av lösningarna om de går moturs i enhetscirkeln, och den andra hälften av lösningarna om de går medurs i enhetscirkeln. Om du testar att ta den negativa lösningen istället ser du att det blir rätt:

$\displaystyle \frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$

I själva verket är lösningsmängden jag föreslog samma som deras, bara kompaktare och lättare att förstå. I min lösningsmängd blir det så här:

Så i min lösning går du hela tiden moturs. I facits lösning måste du gå både moturs och medurs för att få med alla lösningar.

Okej då förstår jag lite bättre. Men jag skulle ju aldrig komma på själv att man ska gå moturs…Om jag inte hade fått lösningsförslaget hade jag tänkt att den övre integrationsgränsen skulle vara 5pi/6 då n = 1. Hade detta gett rätt svar ändå vid beräkningen av arean ovanför x-axeln?

När det kommer till din lösning förstod jag inte varför det är ”okej” att skriva n*pi istället för n*2pi? Man ska väll alltid skriva 2pi så länge det inte handlar om tangens? 

Hade detta gett rätt svar ändå vid beräkningen av arean ovanför x-axeln?

Nej, det är just det som är så lurigt med deras sätt att skriva det på! Det blir helt uppåt väggarna fel då. Titta bara på grafen:

Det är sant att cosinusfunktionen i vanliga fall har en periodicitet på $2\pi$ radianer. Grejen här är att jag får med facits "medurs-lösningar" genom att bara hoppa ett halvt varv moturs för varje heltal $n$. Cosinusfunktionen är ju noll längs hela $y$-axeln, så låt säga att du fixerar dig vid $3x=\pi/2$:

Om du skulle välja att göra vinkeln $2\pi/3$ större, då hade du hamnat vid samma punkt igen. Men om du istället gör vinkeln $\pi/3$ större, var hamnar du då? :)

Jag har läst om det du skrivit ett flertal gånger nu, men förstår ändå inte riktigt…Nu börjar stressen kicka in inför NP nästa vecka….Jag vill så görna förstå men gör inte det…

Hur kom du på att det går att hoppa ett varv moturs för varje heltal n? Och vad menas ens med det? 

Och hur vet man att man skulle hamna vid samma punkt igen om man skulle göra vinkeln 2pi/3 större? Om jag gör vinkeln pi/3 större hamnar jag vid pi/3 när n=1, 2pi/3 när n=2, pi när n = 3 osv. Men detta säger mig inte så mycket…Jag känner mig rätt så vilsen just nu…

Hur hade du löst uppgiften om du bara utgick från frågan och inte fick se lösningsförslaget? Hade du fortfarande skrivit 3x = (+/-)pi/2 + npi? Hur hade du kommit fram till det då? I uppgiften får man ju enbart se grafen utan x-värdena.

Nu börjar stressen kicka in inför NP nästa vecka….Jag vill så görna förstå men gör inte det…

Oroa dig inte! Det är väl inte NP förrän på fredag? Oceaner av tid tills dess.

Och hur vet man att man skulle hamna vid samma punkt igen om man skulle göra vinkeln 2pi/3 större? Om jag gör vinkeln pi/3 större hamnar jag vid pi/3 när n=1, 2pi/3 när n=2, pi när n = 3 osv. Men detta säger mig inte så mycket…Jag känner mig rätt så vilsen just nu…

Om du utgår från vinkeln $x=\pi/6$ och gör den $\pi/3$ större, då blir den sammanlagda vinkeln $\pi/2$. Det betyder att funktionen hamnar vid vinkeln $3x=3\cdot \pi/2 = 3\pi/2$. På enhetscirkeln blir det denna punkt:

Om du istället hade inkrementerat vinkeln med $2\pi/3$ som facits lösning antyder skulle du hamna:

Som du ser hoppar man över lösningarna som ligger vid $y=-1$ då man går moturs på det sättet. Det är där facits $\pm$ kommer in! Om du går medurs istället (dvs. tittar på "minuslösningarna") kommer du hoppa över lösningarna vid $y=1$ istället.

Hur hade du löst uppgiften om du bara utgick från frågan och inte fick se lösningsförslaget? Hade du fortfarande skrivit 3x = (+/-)pi/2 + npi? Hur hade du kommit fram till det då? I uppgiften får man ju enbart se grafen utan x-värdena.

Jag hade löst den likadant som jag föreslog här. Alltså:

$\displaystyle \cos3x=0\iff x=\frac{\pi}{6}+n\frac{\pi}{3}$

Jag har en liten enhetscirkeln i huvudet, och tänker ungefär: var blir $\cos a = 0$? Jo, vid $a=\pi/2$. Och var ligger närmaste nästa lösning? Jo, $\pi$ radianer bort. Aha! Då kan man skriva $+n\pi$ istället för $+2\pi n$ som man brukar göra.

Åhhh nu förstår jag din lösning!! Nu känns det självklart att skriva n*pi istället för n*2pi eftersom att cos = 0 varje halvvarv i enhetscirkeln (om man räknar från pi/2), eller hur? 

Jag förstår bokens lösnings lite bättre nu, men tycker den var för krånglig och föredrar hur du gör…

Tillägg: En fråga bara, om vi säger att jag vill få reda på nästa skärningpunkt grafen har med x-axeln, hade din metod då gett lösningen (genom att sätta in n=2 osv)? Eller hoppar din metod också över några lösningar?

Åhhh nu förstår jag din lösning!! Nu känns det självklart att skriva n*pi istället för n*2pi eftersom att cos = 0 varje halvvarv i enhetscirkeln (om man räknar från pi/2), eller hur? 

Japp, exakt!

Jag förstår bokens lösnings lite bättre nu, men tycker den var för krånglig och föredrar hur du gör…

Håller med. Där föll du tyvärr offer för den svenska skolans besatthet av "metoder" istället för att lära ut matematiskt tänkande. Skit i "standardmetoderna" om det finns bättre sätt, säger jag!

Eller hoppar din metod också över några lösningar?

Nepp, den hoppar inte över någon lösning. Den hoppar fram och tillbaka mellan $y=1$ och $y=-1$, dvs. de enda ställena där lösningar kan finnas! :)