Beräkna den rotationsarea som uppstår då en kurva får rotera runt x-axeln

Hej!

Det rör ihop sig i mina uträkningar och jag hoppas att någon kan hjälpa mig med att förenkla mina uträkningar.

Beräkna den rotationsarea som uppstår då kurvan $y = \cos \frac{πx}{6}$ , $|x| \leq 3$ får rotera runt x-axeln.

Jag har börjat så här,

Arean = $2 π \int_{- \infty}^{3} f (x) \sqrt{1 + (f' (x)^{2}} dx$

f(x)=y

$f' (x) = - \frac{1}{6} πSin (\frac{πx}{6})$

A = $2 π \int_{- \infty}^{3} Cos \frac{πx}{6} \times \sqrt{1 + (\frac{- 1}{6} πSin (\frac{πx}{6})})^{2} dx$

= $2 π \int_{- \infty}^{3} \cos \frac{πx}{6} \times \sqrt{\frac{1}{36} π^{2} \times \sin^{2} (\frac{πx}{6}) + 1} dx$

Jag känner här att uträkningen är väldigt rörig och jag vet inte hur jag ska förenkla den på bästa sätt. Är det någon som är bättre på detta än mig möjligtvis?

Tacksam för all hjälp!

Vänligen,

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Fråga 2: Vet du vad absolutbelopp innebär? Din ena integratinsgräns är felaktig.

Då jag ritar in y i ett koordinatsystem ser jag att funktionen är periodisk, den går i vågor upp och ner.

Jag missade absolutbeloppet. $\pm x \leq 3$ är samma sak? Jag är dock osäker hur jag gör med gränserna, blir det -x och x? Eller -3 och 3? Hur ska jag tänka då det är absolutbelopp?

Börja med att rita upp funktionen på det aktuella området, d v s $-3 \le x \le 3$ .

Det blir -3 och 3. Intervallet är ju inga variabler, utan konstanter. För att se vilket intervall som uppfyller $| x | \leq 3$ är det enklaste sättet att bara pröva sig fram. Man ser ju att det funkar för -3 och 3 och allt däremellan, men sätter man in t.e.x. -4 eller 4 stämmer ju inte olikheten.

För att ta itu med din integral kan jag rekommendera en substitution. Du har ju $\sin (\frac{πx}{6})$ på insidan av roten och dess derivata (nästan i alla fall, det skiljer bara några konstanter) på utsidan av roten. Vad kan man då göra för substitution?

Svara

Visa senaste svar