Beräkna den elektrostatiska potentialen längs x axeln

Börja med att rita en bild över geometrin. Förmodligen har ni lärt er att den elektriska potentialen från en linjeladdning ges av linjeintegralen

$\displaystyle V=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\int_{L^\prime}\frac{\rho_\mathfrak{l}}{R}\mathrm{d}\mathfrak{l}^\prime$

Där man samlar ihop de infinitesimala laddningarna $\mathrm{d}q=\rho_l \mathrm{d}\mathfrak{l}^\prime$ utmed linjen. Du behöver alltså integrera laddningsfördelningen utmed y-axeln från -L/2 till L/2. $R$ är naturligtvis avståndet från en infinitesimal laddning $\mathrm{d}q$ till punkten på x-axeln.

D4NIEL skrev:

Börja med att rita en bild över geometrin. Förmodligen har ni lärt er att den elektriska potentialen från en linjeladdning ges av linjeintegralen

$\displaystyle V=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\int_{L^\prime}\frac{\rho_\mathfrak{l}}{R}\mathrm{d}\mathfrak{l}^\prime$

Där man samlar ihop de infinitesimala laddningarna $\mathrm{d}q=\rho_l \mathrm{d}\mathfrak{l}^\prime$ utmed linjen. Du behöver alltså integrera laddningsfördelningen utmed y-axeln från -L/2 till L/2. $R$ är naturligtvis avståndet från en infinitesimal laddning $\mathrm{d}q$ till punkten på x-axeln.

Asså jag skissade typ såhär. Jag är dock ej med på hur jag ska integrera 

Nu tittar vi på en infinitesimal laddning $dq$ belägen vid $(0,y,0)$. Vad blir avståndet $R(y)$? Försök sedan ställa upp integralen som samlar ihop alla $dq$ från -L/2 till L/2

D4NIEL skrev:

Nu tittar vi på en infinitesimal laddning $dq$ belägen vid $(0,y,0)$. Vad blir avståndet $R(y)$? Försök sedan ställa upp integralen som samlar ihop alla $dq$ från -L/2 till L/2

Jag är ej helt med på vad du menar med att samla ihop 

Nu börjar det likna något!

Med samla ihop menar jag att vi ska addera bidragen från alla infinitesimala laddningar $dq$ från -L/2 till +L/2.

$R$ är avståndet mellan punkten $(x,0,0)$ och laddningen $dq$ som vi godtyckligt lagt i punkten $(0,y,0)$

Så $R=\sqrt{x^2+y^2}$

Rätta till ditt uttryck för $R$, sedan integrerar du.  Använd någon av formlerna du fått längre ned på uppgiftsbladet.

D4NIEL skrev:

Nu börjar det likna något!

Med samla ihop menar jag att vi ska addera bidragen från alla infinitesimala laddningar $dq$ från -L/2 till +L/2.

$R$ är avståndet mellan punkten $(x,0,0)$ och laddningen $dq$ som vi godtyckligt lagt i punkten $(0,y,0)$

Så $R=\sqrt{x^2+y^2}$

Rätta till ditt uttryck för $R$, sedan integrerar du.  Använd någon av formlerna du fått längre ned på uppgiftsbladet.

Nästan rätt, men det ska vara $+$-tecken mellan $x^2$ och $y^2$

Sen integrerar vi utmed y-axeln så integralen blir

$\displaystyle \frac{\rho_L}{4\pi\varepsilon_0}\left[\ln(y+\sqrt{x^2+y^2})\right]^{\frac L2}_{-\frac L2}$

D4NIEL skrev:

Nästan rätt, men det ska vara $+$-tecken mellan $x^2$ och $y^2$

Sen integrerar vi utmed y-axeln så integralen blir

$\displaystyle \frac{\rho_L}{4\pi\varepsilon_0}\left[\ln(y+\sqrt{x^2+y^2})\right]^{\frac L2}_{-\frac L2}$

Varför plus och ej minus?

Pythagoras sats säger ju att summan av kateterna i kvadrat är lika med hypotenusan i kvadrat

$R^2=x^2+y^2$

Titta på figuren så ser du att avståndet $R$ är en hypotenusa. $R$ är ju avståndet mellan $(x,0,0)$ och $(0,y,0)$

D4NIEL skrev:

Pythagoras sats säger ju att summan av kateterna i kvadrat är lika med hypotenusan

$R^2=x^2+y^2$

Titta på figuren så ser du att avståndet $R$ är en hypotenusa. $R$ är ju avståndet mellan $(x,0,0)$ och $(0,y,0)$

Jo jag är med ,men om vi ska likna integral identiteter i uppgiften har de minus.  

Det här är jag vad jag fick nu. Ln(-1) är ju ej definierad, vet ej om det var meningen att jag skulle räkna ut värdet på integralen fast frågan undrar om det

Nu förstår jag inte vad du gör, tänk på att $\sqrt{x^2+y^2}\neq x+y$

Vill du förenkla uttrycket kan du sätta in gränserna och använda att $\ln(a)-\ln(b)=\ln(\frac ab)$

Du kan också snygga till uttrycket genom att förlänga med konjugatet till nämnaren. Det kan vara användbart när du gör approximationen, t.ex. $\ln(1+w)\approx w-w^2/2+\dots$ för små $w$.

D4NIEL skrev:

Nu förstår jag inte vad du gör, tänk på att $\sqrt{x^2+y^2}\neq x+y$

Vill du förenkla uttrycket kan du sätta in gränserna och använda att $\ln(a)-\ln(b)=\ln(\frac ab)$

Du kan också snygga till uttrycket genom att förlänga med konjugatet till nämnaren. Det kan vara användbart när du gör approximationen, t.ex. $\ln(1+w)\approx w-w^2/2+\dots$ för små $w$.

Jag har för mig att x blir 0 i vårt fall och vi har bara y^2 under roten ur. Är ej säker på vad uppgiften vill från mig tyvärr. Jag får nog kika på facit tror jag  eftersom det räcker tydligen ej att bara sätta in x =0 och y =L/2 och L=-1/2 för att få ett värde. 

Jag tolkar det så här:

På a) vill man förmodligen ha ett exakt uttryck för potentialen. Du kan fortfarande förenkla ditt uttryck en hel del.

på b) ska du göra en approximation som bygger på $L\ll x$ och då ser du att du får potentialen från en punktladdning.

på c) använder du approximationen för att beräkna potentialskillnaden mellan två punkter.

D4NIEL skrev:

Jag tolkar det så här:

På a) vill man förmodligen ha ett exakt uttryck för potentialen. Du kan fortfarande förenkla ditt uttryck en hel del.

på b) ska du göra en approximation som bygger på $L\ll x$ och då ser du att du får potentialen från en punktladdning.

på c) använder du approximationen för att beräkna potentialskillnaden mellan två punkter.

jag kollade precis på facit i a) de har gjort som oss men jag är ej med på divisionen de gör i täljaren och nämnaren.  Låter oklart för mig !

Ja, de använder logaritmlagen som jag påpekade tidigare i tråden.

$\ln(a)-\ln(b)=\ln(\frac ab)$

Använd den på de insatta gränserna

$\frac{\rho_L}{4\pi \varepsilon_0}\left(\ln(L/2+\sqrt{x^2+L^2/4})-\ln(-L/2+\sqrt{x^2+L^2/4})\right)=\dots$

D4NIEL skrev:

Ja, de använder logaritmlagen som jag påpekade tidigare i tråden.

$\ln(a)-\ln(b)=\ln(\frac ab)$

Använd den på de insatta gränserna

$\frac{\rho_L}{4\pi \varepsilon_0}\left(\ln(L/2+\sqrt{x^2+L^2/4})-\ln(-L/2+\sqrt{x^2+L^2/4})\right)=\dots$

Ok då förstår jag.  :) blev mycket tydligt efter facit!