Beräkna bias av andra momentet

Hej, jag är lite obekväm med momentskattning fortfarande så vet inte riktigt var jag tänker fel.

Som jag har förstått det gäller att förstamomentet för normalfördelningen är: $E (X) = m (μ) = μ = \frac{1}{n} \sum_{i} x_{i} = \bar{x}$

Andra momentet är: $E (X^{2}) = \frac{1}{n} \sum_{i} {x^{2}}_{i}$ = $\bar{x^{2}}$

Hade frågan rört just $\bar{x^{2}}$ som skattning av $μ^{2}$ så hade jag förstått att den biased biten hade varit: $\bar{x^{2}} - μ^{2} = E (X^{2}) - (E {(X))}^{2^{}} = V (X)$

Men nu är det ju frågan om ${(\bar{x})}^{2}$ och den borde väl inte bli biased?

Har du beräknat:

$\displaystyle E((\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k)^2)$ ?

Hmm, jag måste säga att jag inte känner mig helt bekväm med detta ännu. Men nu när jag tänker efter:

Jag har en flerdimensionell slumpvariabel (mitt random sample): $(X_{1}, . . ., X_{n})$ där:

$\bar{X} = g (X_{1}, . . ., X_{n}) = \frac{X_{1} + . . . + X_{n}}{n}$

Så om jag använder ${(\bar{x})}^{2}$ som estimat för (mu)^2 så kollar jag bias genom att kolla: $E [{(\bar{X})}^{2}] - μ^{2}$

Men då: $E (X^2) - (E (X))^2 = V (X)$ och E(X) = mu, gäller det att: $E [{(\bar{X})}^{2}] - μ^{2} = V a r (X)$

Var(X) är svaret så jag behöver nog inte vara mer explicit med $E [{(\bar{X})}^{2}]$

Jag hänger egentligen med på allt, det är bara det att i boken står det att:

$E (X^{2}) = m_{2} (θ_{1}, θ_{2}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}$

Så då innebär det att estimaten $\bar{x^{2}}$ och ${(\bar{x})}^{2}$ har samma bias när man använder dom som estimat för $μ^{2}$

Se här: https://stats.stackexchange.com/questions/209315/square-of-the-sample-mean-as-estimator-of-the-variance

Nice, tack för länken!

Det är jag som är helt snurrig: Det jag tänkte fel var att eftersom $μ = \bar{X}$ är unbiased så måste $μ^{2} = {(\bar{X})}^{2}$ vara

unbiased. Men så är det såklart inte, $\bar{X}$ är ju unbiased för att $E (\bar{X}) = μ$ men $E [{(\bar{X})}^{2}]$ är inte alls säkert att den är $μ^{2}$ utan den blir ju $μ^{2} + V a r (\bar{X)}$

Ygolopot skrev:
Nice, tack för länken!

Det är jag som är helt snurrig: Det jag tänkte fel var att eftersom $μ = \bar{X}$ är unbiased så måste $μ^{2} = {(\bar{X})}^{2}$ vara

unbiased. Men så är det såklart inte, $\bar{X}$ är ju unbiased för att $E (\bar{X}) = μ$ men $E [{(\bar{X})}^{2}]$ är inte alls säkert att den är $μ^{2}$ utan den blir ju $μ^{2} + V a r (\bar{X)}$

Precis. Man måste alltid beräkna väntevärdet av estimatorn för att se vad det blir, lätt att man får för sig något som inte stämmer.

Svara

Visa senaste svar