Beräkna avståndet från punkten P till V

Punkten [0 0 0 0] ingår i V eftersom att 0*u+0*v+0*w ingår i V och blir [0 0 0 0].

Projicera vektorn som pekar från [0 0 0 0] till P på de tre vektorerna och subtrahera bort projektionerna för att få vektorn som pekar från den punkt i V som är närmast P till punkten P. Räkna ut dess längd.

Bedinsis skrev:

Punkten [0 0 0 0] ingår i V eftersom att 0*u+0*v+0*w ingår i V och blir [0 0 0 0].

Projicera vektorn som pekar från [0 0 0 0] till P på de tre vektorerna och subtrahera bort projektionerna för att få vektorn som pekar från den punkt i V som är närmast P till punkten P. Räkna ut dess längd.

Nu förstår jag inte riktigt. Det var väldigt många steg så jag tappade dig bort dig där. 

Betänk den här uppgiften:

Delrummet V ges som det linjär höljet av vektorerna [1 0 0] och [0 1 0]. Bestäm avståndet från punkten P = [5 5 5] till V.

V i det här fallet är alla vektorer som kan beskrivas helt av a*[1 0 0]+b*[0 1 0], med andra ord det är planet som beskrivs av z=0. Givet detta borde kortaste avståndet mellan P och planet vara att vi sänker z-värdet tills att vi når planet, vilket sker i punkten [5 5 0], och minsta avståndet är således 5 eftersom det är så långt vi rört oss.

Hur uttrycker man den här uträkningen om vi inte ser att siffrorna är snälla nog att man inte behöver räkna något? Jo, vi omvandlar först P till en vektor som pekar från en punkt i V till P. Origo ligger i V så den kan vara lämplig att utgå från. Vi har nu vektorn [5 5 5]. Hade denna vektor varit kortaste möjliga avstånd hade det varit enkelt, bara räkna ut vad dess längd är. Detta vet vi dock inte om så är fallet, det kan vara som så att vektorn som pekar från origo till P inte är kortaste avståndet mellan V och P. Vi vill därför eliminera de bitar i vektorn som innefattar att vi rör oss längs med de vektorer som spänner upp V. Därför projicerar vi vektorn [5 5 5] på [1 0 0], ser hur stor del av vektorn som innefattar att man rör sig längs [1 0 0] och subtraherar bort detta. Sedan tar vi det som återstår, vilket bör vara [0 5 5], projicerar på [0 1 0], ser hur stor del av vektorn som innefattar att man rör sig längs [0 1 0] och subtraherar bort detta. Därmed har vi en vektor som pekar från V till P utan att vektorn har någon utsträckning i V och därmed är den den kortaste vektorn från V till P.

Denna uträkning förutsatte dock att vektorerna som beskriver V är ortogonala. Detta gör att man får normera vektorerna och sedan subtrahera dem med deras projektion på de andra vektorerna, så att resulterande vektorer är ortogonala basvektorer. Jag ser dock från (a)-uppgiften att en av vektorerna är en linjärkombination av övriga vilket gör att den kommer bli nollvektorn då man gör på det viset, vilket gör att du endast kommer att få två vektorer att projicera mot. Basvektorerna blir alltså u/||u|| och v/||v||-proj(v/||v|| på u/||u||).

Bedinsis skrev:

Betänk den här uppgiften:

Delrummet V ges som det linjär höljet av vektorerna [1 0 0] och [0 1 0]. Bestäm avståndet från punkten P = [5 5 5] till V.

V i det här fallet är alla vektorer som kan beskrivas helt av a*[1 0 0]+b*[0 1 0], med andra ord det är planet som beskrivs av z=0. Givet detta borde kortaste avståndet mellan P och planet vara att vi sänker z-värdet tills att vi når planet, vilket sker i punkten [5 5 0], och minsta avståndet är således 5 eftersom det är så långt vi rört oss.

Hur uttrycker man den här uträkningen om vi inte ser att siffrorna är snälla nog att man inte behöver räkna något? Jo, vi omvandlar först P till en vektor som pekar från en punkt i V till P. Origo ligger i V så den kan vara lämplig att utgå från. Vi har nu vektorn [5 5 5]. Hade denna vektor varit kortaste möjliga avstånd hade det varit enkelt, bara räkna ut vad dess längd är. Detta vet vi dock inte om så är fallet, det kan vara som så att vektorn som pekar från origo till P inte är kortaste avståndet mellan V och P. Vi vill därför eliminera de bitar i vektorn som innefattar att vi rör oss längs med de vektorer som spänner upp V. Därför projicerar vi vektorn [5 5 5] på [1 0 0], ser hur stor del av vektorn som innefattar att man rör sig längs [1 0 0] och subtraherar bort detta. Sedan tar vi det som återstår, vilket bör vara [0 5 5], projicerar på [0 1 0], ser hur stor del av vektorn som innefattar att man rör sig längs [0 1 0] och subtraherar bort detta. Därmed har vi en vektor som pekar från V till P utan att vektorn har någon utsträckning i V och därmed är den den kortaste vektorn från V till P.

---

Denna uträkning förutsatte dock att vektorerna som beskriver V är ortogonala. Detta gör att man får normera vektorerna och sedan subtrahera dem med deras projektion på de andra vektorerna, så att resulterande vektorer är ortogonala basvektorer. Jag ser dock från (a)-uppgiften att en av vektorerna är en linjärkombination av övriga vilket gör att den kommer bli nollvektorn då man gör på det viset, vilket gör att du endast kommer att få två vektorer att projicera mot. Basvektorerna blir alltså ||u|| och ||v||-proj(||v|| på ||u||).

Jag kommer tyvärr inte vidare. Men hur ska man först börja om vi tar små steg eller typ ett steg i taget? Varför kan man inte ta det man fick i a) uppgiften när man gjorde gauseliminering och fick en  linje i parameterform?

Från a) så borde du ha hittat en bas för delrummet V.

Säg att dina basvektorer är a och b.

Du vill hitta den punkt xa + yb i V som ligger närmast vektorn P.

Dvs du vill lösa

$\underset{x, y}{min}||\mathit{P}-x\mathit{a}-y\mathit{b}||$

Det visar sig, som du säkert inser, att uttrycket minimeras då skillnadsvektorn S(x, y) = P-xa-yb ortogonal mot V. Detta gäller om och endast om S är ortogonal mot båda basvektorerna.

Dvs du får två ekvationer för att lösa ut vad x och y skall vara

S(x, y)•a = 0

S(x, y)•b = 0.

PATENTERAMERA skrev:

Från a) så borde du ha hittat en bas för delrummet V.

Säg att dina basvektorer är a och b.

Du vill hitta den punkt xa + yb i V som ligger närmast vektorn P.

Dvs du vill lösa

$\underset{x, y}{min}||\mathit{P}-x\mathit{a}-y\mathit{b}||$

Det visar sig, som du säkert inser, att uttrycket minimeras då skillnadsvektorn S(x, y) = P-xa-yb ortogonal mot V. Detta gäller om och endast om S är ortogonal mot båda basvektorerna.

Dvs du får två ekvationer för att lösa ut vad x och y skall vara

S(x, y)•a = 0

S(x, y)•b = 0.

i a) fick jag [c1,c2,c3]=(0,0,0)+t(-3/7,-5/7,1,0)

I a) skulle du insett att v, u och w är linjärt beroende.

Tex är det nu lätt att inse att v och u är linjärt oberoende. Därför utgör de en bas för V. Men även 3v och 5u utgör en bas, vilket kanske ger trevligare siffror.

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Från a) så borde du ha hittat en bas för delrummet V.

Säg att dina basvektorer är a och b.

Du vill hitta den punkt xa + yb i V som ligger närmast vektorn P.

Dvs du vill lösa

$\underset{x, y}{min}||\mathit{P}-x\mathit{a}-y\mathit{b}||$

Det visar sig, som du säkert inser, att uttrycket minimeras då skillnadsvektorn S(x, y) = P-xa-yb ortogonal mot V. Detta gäller om och endast om S är ortogonal mot båda basvektorerna.

Dvs du får två ekvationer för att lösa ut vad x och y skall vara

S(x, y)•a = 0

S(x, y)•b = 0.

i a) fick jag [c1,c2,c3]=(0,0,0)+t(-3/7,-5/7,1,0)

Betyder det att "Vi kan nå origo genom att ta t*(-3/7)*u+t*(-5/7)*v+t*1*w, så vi kan nå origo på andra vis än det triviala 0*u+0*v+0*w"?

PATENTERAMERA skrev:

I a) skulle du insett att v, u och w är linjärt beroende.

Tex är det nu lätt att inse att v och u är linjärt oberoende. Därför utgör de en bas för V. Men även 3v och 5u utgör en bas, vilket kanske ger trevligare siffror.

Okej så (-3u/7,-5v/7)  utgör en bas i V. Ska man använda gram schmidt då för att utföra projektionen då? 

Du kan använda Gram-Schmidt eller göra som jag föreslog i #6.

PATENTERAMERA skrev:

Du kan använda Gram-Schmidt eller göra som jag föreslog i #6.

Om jag använder gram schmidt så får jag ju nya vektorer som är {w1,w2}. Hur går jag vidare sen?

Du vill få fram S ortogonal mot V.

S = P - proj_V(P).

Med en ON-bas w₁ och w₂ så gäller det att

proj_V(P) = (P•w₁)w₁ + (P•w₂)w₂.

PATENTERAMERA skrev:

Du vill få fram S ortogonal mot V.

S = P - proj_V(P).

Med en ON-bas w₁ och w₂ så gäller det att

proj_V(P) = (P•w₁)w₁ + (P•w₂)w₂.

Jag förstår inte vad S är för något samt varför S ska vara ortogonal mot V? 

"proj_V(P) = (P•w₁)w₁ + (P•w₂)w₂."

Var kommer det där ifrån och varför summerar man projektionerna av ON bas w1 och w2 på punkten P? 

S är skillnadsvektorn. Det är dess belopp som är minsta avståndet.

Läs på om ortogonala projektioner i lärobok.

PATENTERAMERA skrev:

S är skillnadsvektorn. Det är dess belopp som är minsta avståndet.

Ja okej. Varför är det skillnadsvektorn?

Se #6.

PATENTERAMERA skrev:

Läs på om ortogonala projektioner i lärobok.

Ja det är ju projektionsformeln

PATENTERAMERA skrev:

Det finns ju två vektorer som spänner upp planet V. Kan man inte ta kryssprodukten mellan dem så får man normalvektorn till V och projicera en punkt från V till P likt som de gör på det här klippet nedan?

https://youtu.be/u3G1uJXIe5E?si=qUTQKT9rTWOwV_b4 

Nja, kryssprodukten fungerar bara i tre dimensioner. Här är vi i R⁴.

PATENTERAMERA skrev:

Nja, kryssprodukten fungerar bara i tre dimensioner. Här är vi i R⁴.

Okej så här ska vi alltså istället ta fram ON bas som är i V planet och är normalvektorer till planet V?

Nja, om en vektor ligger i planet V så kan den inte vara en normalvektor till V (om den inte är nollvektorn förstås).

Du vill hitta den vektor Q i planet V sådan att skillnadsvektorn P - Q är ortogonal mot V. Se mitt bevis. Q är då den vektor i V som ligger närmast P.

Om du har tagit fram en ON-bas (w₁, w₂) för V så kan du göra ansatsen

Q = xw₁ + yw₂.

Du vill således hitta x och y sådana att vektorn P - xw₁ - yw₂ är ortogonal mot V. Det blir den om den är ortogonal mot var och en av basvektorerna.

Tex så måste det gälla att (P - xw₁ - yw₂)•w₁ = 0, vilket ger vid handen att x = P•w₁.

På liknande sätt kan du räkna ut vad y skall bli (P•w₂).