beräkna asymptot

Två vertikala stämmer, men det är x som är konstant då, inte y.

Horisontella asymptoter kan det finnas flera av, men om det fanns horisontella asymptoter här skulle du få ett konstant värde i limes, inte oändligheten. Du har en annan sorts asymptot här.

så vertikala blir x=2 och x=-2

och på horisontella asymptoter:

finns det inga horisontella asymptoter i detta fall i och med att gränsvärdena går mot oändligheten och -oändligheten. Blir svaret att det inte finns horisontella asymptoter? 

jag antar att de kallas sneda asymptoter i horisontellt led. Men blir det två sneda asymptoter:

y=+oändligheten och y=-oändligheten?

En sned asymptot är en rät linje den också, så den har en ekvation y = kx+m. Du får ta reda på k och m.

jag fick att k värdet blev 1 och m värdet blev 0 när jag räknade ut då x går mot oändligheten. får jag enbart en sned asymptot då eller hur blir det i och med att jag när jag beräknade horisontella asymptoter fick 2 värden: -oändligheten och +oändligheten

Hur resonerar du när du får dina horisontella asymptoter?

först beräknar jag gränsvärdet och set att f(x) går mot oändligheten då x går mot oändligheten och -oändligheten då x går mot -oändligheten. Sen räknar jag ut k=lim då x går mot oändligheten för f(x)/x (hittade detta på youtube.) Sen m=lim då x går mot oändligheten för f(x)-kx

vad gör jag för fel?

Det låter som rätt väg. Vad fick du $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ till?

lim då x går mot +oändligheten fick jag till 1 som då är k värdet. Stämmer det?

m värdet fick jag till 0. Kan det stämma?

dock beräknade jag bara k och m värde för x går mot +oändligheten. Eftersom jag har två sneda asymptoter då funktionen gick mot både + och -oändligheten så borde jag få två sneda asymptoter och alltså två räta linjer?

Ja, det ser ut att stämma. Du kan göra samma sak för x -> -$\infty$. Men det ser ut som man få samma (k=1, m=0) då x->-∞. Dubbelkolla att det stämmer.

Notera att oändligheten inte är en asymptot. Det betyder inget att säga att det är det.

Testfråga: vad tycker du att f(x) = x² har för asymptoter?

inga vertikala, 

men sneda har den skulle jag säga. Tänker jag fel?

Ett annat sätt är:

$\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{x^3}{x^2-4} = \lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{\cancel{x^2} \cdot x}{\cancel{x^2}(1-4/x^2)}=$

$=\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{ x}{1-4/x^2} \propto x$

Du har alltså en sned asymptot $y = x$.

Eller polynomdivision. $\frac{x^3}{x^2-4}=x+\frac{4x}{x^2-4}$

PATENTERAMERA skrev:

Eller polynomdivision. $\frac{x^3}{x^2-4}=x+\frac{4x}{x^2-4}$

Det är till och med bättre! Passande också för matematik 4 (det är väl då de lär sig det?).

nenne27 skrev:

inga vertikala, 

men sneda har den skulle jag säga. Tänker jag fel?

Ja, den har inga asymptoter.

Så om en funktion går mot oändligheten när x går mot oändligheten, alltså ingen konstant så behöver det inte betyda att den har en sned asymptot som tex x^2. Men hur vet man då när en funktion har en sned asymptot?

Läs mitt inlägg här.

nenne27 skrev:

Så om en funktion går mot oändligheten när x går mot oändligheten, alltså ingen konstant så behöver det inte betyda att den har en sned asymptot som tex x^2. Men hur vet man då när en funktion har en sned asymptot?

Enklare sagt vill du studera vad som händer vid ett gränsvärde. Du vill alltså kolla hur funktionen beter sig vid $\pm \infty$. 

Funktionen $y=x^2$ beter sig som $x^2$ vid oändligheten och har därmed inte någon asymptot. Om du däremot tittar på:

$y = \dfrac{x^2+3x}{x+2}$

Här förstår vi att $x=-2$ är en vertikal asymptot och att om $x\rightarrow \pm \infty$ kommer funktionen närma sig $y=x+3$ i beteende. Således har vi en sned asymptot.

Annars kan du alltid använda PMs algoritm.

Blir inte asymptoten y = x + 1?

$\frac{x^2+3x}{x+2}=x+1-\frac{2}{x+2}$.