Beräkna arean med integral

Jag har löst uppgiften och ritat en bild av de två kurvorna som bildar en area båda under och över x-axeln. Jag har också försökt att övertyga mig om att resultatet som jag fått , dvs 1,3 a.e. innebär att arean över x-axeln är större än den area som bildas under x-axeln med 1,3 a.e.

Hade areorna varit lika stora skulle man förvisso få 0 eller negativ area om den undre arean är större än den övre oavsett hur graferna ser ut. Stämmer det eller har jag missförstått något?

Tack för hjälpen

Hej.

Uppgiftslydelsen saknas, men jag antar att det gäller att beräkna arean av området mellan graferna till y = cos(x) och y = cos(2x) i intervallet [0, pi].

I så fall stämmer inte din analys.

Integralens värde motsvarar områdets area,, så ett värde på 0 skulle innebära att graferna sammanfaller och ett negativt värde skulle innebära att du har förväxlat "övre" och "undre" funktion.

Föreställ dig att du adderar 4 till båda funktionerna. Då flyttas området upp ovanför x-axeln, men förblir lika stor, och integralen kommer att behålla samma värde.

Min lösning gäller den här uppgiften

När jag beräknar en area som bildas under x-axeln blir integralens värde negativt. Om arean som bildas av en funktion lika stor över och under x-axeln så blir integralens värde 0. Därför drar jag slutsatsen att om arean under x-axeln är större än den area som bildas över x-axeln så blir integralens värde negativt.

I uppgiften som jag löste och bifogade bild på, bildas en arean över och under x-axeln så om den undre arean är större så får man ett negativt värde eftersom -4+3=1. Skulle ni kunna förklara varför jag tänker fel?

OK då är ditt svar rätt (förutom det där med över/under x-axeln).

Varför tänker jag fel? Beror det på hur arean som bildas ser ut?

När du beräknar en integral där funktionen f(x) ligger ovanför x-axeln så beräknar du $\int f(x)\operatorname dx$ och du får då ett positivt värde.

När du beräknar en integral där funktionen g(x) ligger under x-axeln så beräknar du $\int g(x)\operatorname dx$ och du får då ett negativt värde. Observera att det här inte står ett minustecken framför integranden g(x).

Men när du beräknar en integral där integranden är differensen mellan två funktioner f(x) och g(x) så beräknar du ju $\int (f(x)-g(x))\operatorname dx$ . Observera att det här står ett minustecken framför termen g(x). Detta bidrag blir därför lika med arean mellan x-axeln och grafen till y = g(x).m, dvs ett positivt bidrag.

===========

Läs det här avsnittet. Fråga oss om allt du vill att vi förklarar närmare

Yngve skrev:
När du beräknar en integral där funktionen f(x) ligger ovanför x-axeln så beräknar du $\int f(x)\operatorname dx$ och du får då ett positivt värde.

När du beräknar en integral där funktionen g(x) ligger under x-axeln så beräknar du $\int g(x)\operatorname dx$ och du får då ett negativt värde. Observera att det här inte står ett minustecken framför integranden g(x).

Men när du beräknar en integral där integranden är differensen mellan två funktioner f(x) och g(x) så beräknar du ju $\int (f(x)-g(x))\operatorname dx$ . Observera att det här står ett minustecken framför termen g(x). Detta bidrag blir därför lika med arean mellan x-axeln och grafen till y = g(x).m, dvs ett positivt bidrag.

===========

Läs det här avsnittet. Fråga oss om allt du vill att vi förklarar närmare

Tack så mycket för hjälpen och förklaringen. Det är minusteckent som står framför g(x) som jag inte tänkte på.

Japp. Om integranden hade varit f(x)+g(x) så hade din analys varit rätt.

Men då hade integralen inte givit det värde som efterfrågades, nämligen arean mellan kurvorna.

Nu förstår jag. Tack för hjälpen.

Svara

Visa senaste svar