Beräkna arean för området mellan kurvorna

Du får beräkna skärningspunkterna, så att du vet mellan vilka x-värden som du ska integrera.

Ja just det! 

$2-x=x^2$

Jag får beräkna andragradsekvationen $x^2+x-2=0.$

Ja, och då får du fram de skärningspunkter som du ser i figuren. 

Jag får att $x_1=-2$ och $x_2=1$, precis som det ser ut i grafen.

Nu vill jag beräkna integralen genom att använda den generella formeln för integralberäkning som lyder

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right).$

Tidigare när jag beräknat integraler så har jag haft x-axeln eller y-axeln som en avgränsning till arean som ska beräknas. Det som är nytt för mig här är att alla sidor/gränser på arean består av kurvorna.

Är det något särskilt man bör tänka på just på grund av detta?

Är a=-2 och b=1? 

Eller ska jag kanske använda mig av att y-axeln skär rakt igenom området vars area ska beräknas och så kan jag "vända på steken" och beräkna två ytor (som senare adderas) med utgångspunkt i y-axeln?

Kanelbullen skrev:

Jag får att $x_1=-2$ och $x_2=1$, precis som det ser ut i grafen.

Nu vill jag beräkna integralen genom att använda den generella formeln för integralberäkning som lyder

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right).$

Tidigare när jag beräknat integraler så har jag haft x-axeln eller y-axeln som en avgränsning till arean som ska beräknas. Det som är nytt för mig här är att alla sidor/gränser på arean består av kurvorna.

Är det något särskilt man bör tänka på just på grund av detta?

Är a=-2 och b=1? 

Eller ska jag kanske använda mig av att y-axeln skär rakt igenom området vars area ska beräknas och så kan jag "vända på steken" och beräkna två ytor (som senare adderas) med utgångspunkt i y-axeln?

Du har tänkt rätt hela vägen.

Du kan nu fortsätta på två olika sätt:

1. I två steg. Den sökta arean är lika med arean under den röda linjen minus arean under den gröna parabeln. Är du med på det? Dessa två areor kan du beräkna precis på samma sätt som du tidigare har gjort.
2. I ett steg. Den sökta arean är lika med integralen från x = -2 till x = 1 av "övre funktionen" minus "undre funktionen", dvs integralen av  (2-x) - (x^2). Denna integral kan du beräkna precis på samma sätt som du tidigare har gjort.

Tack så mycket Yngve. Då var denna uppgift inte så svår ändå.

Kanelbullen skrev:

Tack så mycket Yngve. Då var denna uppgift inte så svår ändå.

Bra. Att tänka "övre funktion" minus "undre funktion funkar även när det endast är en funktion given.

Då är den andra funktionen g(x) = 0, vars graf ju sammanfaller med x-axeln.

• Om du t.ex ska beräkna arean under f(x) = x^2 + 2 så är f(x) den övre funktionen och g(x) den undre funktionen. Du integrerar då f(x) - g(x), dvs (x^2 + 2) - (0), dvs x^2 + 2, precis som du är van vid.
• Om du t.ex. ska beräkna arean mellan f(x) = x^2 - 4 (mellan -2 och 2) och x-axeln så är istället g(x) övre funktion och f(x) undre funktion. Du integrerar då g(x) - f(x) = (0) - (x^2 - 4) = 4 - x^2 = -f(x). Du ser att med det här tänket så får du ut arean med rätt tecken på en gång. Det här är alltså en logisk förklaring till det där mystiska "om grafen ligger under x-axeln så är arean lika med det negativa värdet av integralen".

Tack återigen för väldigt bra förklaring.