Beräkna arean av ytan - flervariabelanalys

Hej,

Jag ska beräkna arean av x^2 +y^2 + z^2 = R^2 där $z \geq h$ samt att $0 \leq h \leq R$

Jag hittar en parametrisering av ytan sådan att $\overset{⇀}{r} (x, y) = (x, y, \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}})$ där x,y sträcker sig mellan -R och R.

Normalen beräknas till (x,y,z) vilket ger att vi får en integral av formen:

$\int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} d x d y = \int_{}^{} \int_{}^{} R d x d y$

Vi vet att ytorna skär varandra i z = h, vilket ger oss att x^2 + y^2 <= R^2-h^2

Inför vi polära koordinater fås:

$R \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\sqrt{R^{2} - h^{2}}} r d r d θ = πR (R^{2} - h^{2})$

Vilket såklart inte kan stämma enligt dimensionerna. Det rätta svaret är 2piR(R-h). Det känns nästan som att jag räknat på volymen av detta område snarare än arean. Jag har precis börjat med området om parametriseringar, ytareor och dylikt. Det skulle vara uppskattat om någon kunde förklara varför det blir fel i mina räkningar.

Tack.

Ytan på sfären är buktig. Det innebär att ytelementet $d\mathbf{S}$ måste har rätt skalfaktor. Du får alltså inte ta vilken normal som helst utan måste hämta den från din parametrisering.

$\displaystyle \vec{n}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial y}=\begin{vmatrix}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\1&0&f^\prime_x\\0&1&f^\prime_y\end{vmatrix}=(-f_x^\prime, -f^\prime_y, 1)$

Med din parametrisering blir ytelementet $d\mathbf{S}=\vec{n}dxdy$

$\displaystyle dS=||d\mathbf{S}||=\frac{R\,dxdy}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}$

D4NIEL skrev:
Ytan på sfären är buktig. Det innebär att ytelementet $d\mathbf{S}$ måste har rätt skalfaktor. Du får alltså inte ta vilken normal som helst utan måste hämta den från din parametrisering.

$\displaystyle \vec{n}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial y}=\begin{vmatrix}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\1&0&f^\prime_x\\0&1&f^\prime_y\end{vmatrix}=(-f_x^\prime, -f^\prime_y, 1)$

Med din parametrisering blir ytelementet $d\mathbf{S}=\vec{n}dxdy$

$\displaystyle dS=||d\mathbf{S}||=\frac{R\,dxdy}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}$

Jahaa då förstår jag, tack så mycket.

Mycket att lära sig om kompilatorn här på PA.

Om du skriver \left( \right) så tvingar du parenteserna att anpassa sig till närmsta objekt. Jämför:

D4NIEL skrev: $\displaystyle \begin{vmatrix}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\1&0&f^\prime_x\\0&1&f^\prime_y\end{vmatrix}=(-f_x^\prime, -f^\prime_y, 1)$

Med detta:

$\displaystyle \begin{vmatrix}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\1&0&f^\prime_x\\0&1&f^\prime_y\end{vmatrix}=\left(-f_x^\prime, -f^\prime_y, 1\right)$

Svara

Visa senaste svar