Beräkna arean av triangeln i positivt orienterat ON-system

Om du har två vektorer i ett plan, kan du beräkna arean av den triangel som de bildar då?

Om ja, kan du hitta två vektorer utifrån informationen du har? 

Hint: Minst en av vektorerna kommer att bero på $a$.

Hur gör jag för att beräkna kryssprodukten? Vad gör man för operationer på koordinaterna?
Ni kanske skulle kunna visa med ett exempel med andra vektorer?

$\left|\left|A\times B\right|\right|$ är arean av parralello gramet med sidorna A och B, alltså $Triangel\_area=\frac{\left|\left|A\times B\right|\right|}{2}$.

Ifall vi har två vektorer $A=(4.12,0,a^2), B=(4.12,-4.12,0)$kan kryss produkten beräknas med $det\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 4.12& 0& a^2\\ 4.12& -4.12& 0\end{array}\right|$

där i, j, k är standard basen i R3.

$$\begin{gathered} i\left|\begin{array}{cc}0& a^2\\ -4.12& 0\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}4.12& a^2\\ 4.12& 0\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cc}4.12& 0\\ 4.12& -4.12\end{array}\right| \\ =i(0·0-a^2(-4.12\left)\right)-j(4.12·0-4.12·a^2)+k(4.12(-4.12)-4.12·0) \\ =i(4.12a^2)+j(4.12a^2)-k\left({\left(4.12\right)}^2\right)=(4.12a^2,4.12a^2,-{\left(4.12\right)}^2) \end{gathered}$$

sen

$\frac{\left|\left|(4.12a^2,4.12a^2,-{\left(14.12\right)}^2)\right|\right|}{2}=\frac{\sqrt{{\left(4.12a^2\right)}^2+{\left(4.12a^2\right)}^2+{\left({\left(14.12\right)}^2\right)}^2}}{2}$

Tack så mycket Kallaskull!

Triangelns area är $\sqrt{\frac{{(4.12a^2)}^2+{(4.12a^2)}^2+{(4.{12}^2)}^2}{2}}$.

${(4.{12}^2)}^2$ kan även skrivas ${(-4.{12}^2)}^2$ vilket mer korrekt, men resultatet blir detsamma.

Minsta värde för triangelns area antas när a = 0.