Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan

Hej!

Innan du försöker göra något algebraiskt, rita upp situationen, har du gjort det?

För att svara på din fråga: för att lösa den där andragradsekvationen kan du exempelvis använda kvadratkomplettering eller pq-formeln.

Nej känner mig inte jätte säker när det gäller att rita upp grafer, men hur använder jag pq formeln då? Är det bara på den med x^2 då?

https://gamla.pluggakuten.se/forumserver/viewtopic.php?id=44644 

För att använda pq-formeln måste du skriva om ekvationen på formen $x^2+px+q=0$. Alltså: Koefficienten framför $x^2$ måste vara 1, och HL måste vara lika med noll. 

Fast blir krångligt där vid roten ur 2,5

Mariz98 skrev:

Fast blir krångligt där vid roten ur 2,5

Det är fel också. Där du har skrivit PQ är det rätt, men vad händer sedan?

Hej och välkommen till Pluggakuten!

För att förstå hur området du ska areaberäkna ser ut bör du börja med att grovt skissa de båda kurvorna i ett koordinatsystem.

Titta i detta svar så får du lite ledtrådar kring hur du kan göra.

Den ena grafen som ritas där är just $y=x^2-2x+2$, men den andra är en rät linje.

Du kan använda samma sätt att tänka när du ritar $y=6-x^2$ som när du ritar $y=x^2-2x+2$.

Gör ett försök och visa ditt resultat så fortsätter vi med pq-formeln sen.

Du skall alltså använd pq-formeln och lösa ekvationen $x^2-x-2=0$.

Du har gjort något konstigt med 6-an i din vänsterspalt - det dyker upp ett minustecken på tredje raden som inte skall vara där.

Ena svaret blir ju rätt men inte det andra

Det ska väl dock inte bli ett utan från negativt till positivt så 0,5+/- 2?

Det är ungefär fyra fel på de två sista raderna. Så här ska den första se ut:

$\frac{1}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2}$

Helt rätt nu??

Ja nu är det helt rätt.

Vet du vad det är du har beräknat och vad nästa steg bör vara?

Har beräknat gränserna och nu ska jag beräkna integralen(arean)  men funderar på om jag då ska använda andra kvadreringsregeln alltså (x-2)^2 fast då blir ju svaret fel eftersom det blir +2^2 och man byter ju tecken i pq och innan var det ju minus??

Du gör dig skyldig till "missbruk av likhetstecken" på sista raden, där du skriver $x=...=1,5$. Det är inte sant.

vänta vadå? Vad menar du?? Vart då?

Roten ur 2.25 är ju 1,5

Mariz98 skrev:

Har beräknat gränserna och nu ska jag beräkna integralen(arean)  men funderar på om jag då ska använda andra kvadreringsregeln alltså (x-2)^2 fast då blir ju svaret fel eftersom det blir +2^2 och man byter ju tecken i pq och innan var det ju minus??

Ja du har beräknat gränserna, dvs de x-koordinater där de två parablerna $y=6-x^2$ och $y=x^2-2x+2$ skär varandra.

För att beräkna den inneslutna arean så ska du integrera den "övre funktionen" minus den "undre funktionen" från undre gränsen till övre gränsen.

Vet du vilken som är den "undre" respektive "övre" funktionen?

Nä hur vet man det? Det är väl då man ska använda kvadreringsregeln och testa sätta in värden???

Mariz98 skrev:

Nä hur vet man det? Det är väl då man ska använda kvadreringsregeln och testa sätta in värden???

Det bästa sättet att ta reda på det är att grovt skissa de två graferna i ett koordinatsystem.

Då ser du tydligt vilken som är den "övre" respektive "undre" funktionen.

Har du läst detta svar? Där finns en beskrivning av hur du snabbt och enkelt grovt kan skissa dina parabler.

Gör ett försök och visa dina grafer här så fortsätter vi sen.

Om du skall beräkna arean av ett område mellan två kurvor ät arbetsgången:

1. Rita!
2. Beräkna skärningspunkterna mellan kurvorna, d v s integratinsgränserna
3. Undersök vilken av kurvorna som är under- respektive överkurva.
4. Ställ upp integralen - integranden är överkurva minus underkurva, integrationsgränserna hittade du i steg 2
5. Hitta en primitiv funktion till integranden
6. sätt in integrationsgränserna och beräkna
7. gör en rimlighetsbedömning.

Börja nu med att göra steg 1 på listan.

Mariz98 skrev:

 Det är den här bilden som hör ihop med den här kommentaren:

Du gör dig skyldig till "missbruk av likhetstecken" på sista raden, där du skriver $x=...=1,5$. Det är inte sant.

Är detta min andra funktion att rita?

Blev inte helt rak men jo det där förstår jag, dock bra med uppdatering ibland 

X^2-2x+2 är störst??

EDIT - såg inte dina två senaste kommentarer när jag skrev först.

Du skriver konstiga uträkningar men din graf av $y=6-x^2$ är tillräckligt bra.

Rita nu in båda graferna i samma koordinatsystem så blir allt tydligt.

En ledsen mun

Nä då är det ju den som är störst eftersom det är en maximipunkt dvs då funktionen antar sitt största värde?

Mariz98 skrev:

Nä då är det ju den som är störst eftersom det är en maximipunkt dvs då funktionen antar sitt största värde?

Jag har redigerat mitt senaste svar eftersom jag inte såg att du hade ritat $y=6-x^2$ medans jag skrev.

Rita nu in båda graferna i samma koordinatsystem så ser du både (ungefär) var skärningspunkterna ligger samt vilken graf som ligger ovanför den andra i intervallet $-1\leq x\leq 2$.

Eller kan man ens göra såhär? Inte va?

Mariz98 skrev:

Eller kan man ens göra såhär? Inte va?

 Strunta i $-1\leq x\leq 2$.

Rita bara in de två graferna i samma koordinatsystem. Vilken av graferna ligger ovanför den andra mellan gränserna -1 och 2?

Mariz98 skrev:

 Ja, men:

1. Du bör öva på att rita för hand. På proven har du inte Desmos att tillgå.
2. Sambandet var väl $y=6-x^2$, inte $y=6-2x$?

Oj såg nyss att jag skrivit 2x hehe, var trött när jag skrev det, men man lär derivera funktionen och få fram lutningen på det sättet va?

Mariz98 skrev:

Oj såg nyss att jag skrivit 2x hehe, var trött när jag skrev det, men man lär derivera funktionen och få fram lutningen på det sättet va?

Nej derivatan av $6-x^2$ är inte $6-2x$.

Men i denna uppgift behöver du inte derivera vare sig $x^2-2x+2$ eller $6-x^2$.

Varför skulle du derivera ekvationen?

Vet inte, kanske för att man ofta gjort så hitills och menar inte att det skulle bli 2x utan att jag skrev fel 

Smaragdalena skrev:

Om du skall beräkna arean av ett område mellan två kurvor ät arbetsgången:

1. Rita!
2. Beräkna skärningspunkterna mellan kurvorna, d v s integratinsgränserna
3. Undersök vilken av kurvorna som är under- respektive överkurva.
4. Ställ upp integralen - integranden är överkurva minus underkurva, integrationsgränserna hittade du i steg 2
5. Hitta en primitiv funktion till integranden
6. sätt in integrationsgränserna och beräkna
7. gör en rimlighetsbedömning.

Börja nu med att göra steg 1 på listan.

 Du är alltså fortfarande på punkt 1 på min lista. Håller med Yngve om att du behöver lära dig rita - eller snarare skissa - för hand.

Rita upp funktionerna $y=6-x^2$ och $y=x^2-2x+2$ i samma koordinatsystem, så att du ser att (och ungefär var) de korsar varandra, och vilken som är över- respektive underkurva i det aktuella intervallet.

Men jag vet inte hur jag går tillväga sen?

Om man bara avläser vart kurvorna korsar varandra så är det i punkterna ( -1,5) och (2,2)

Vilka av linjerna är det som föreställer rätt kurvor? - tja, det vet du nog själv.

Nu är nästa punkt att ta reda på skärningspunkterna mellan kurvorna $y=6-x^2$ och $y=x^2-2x+2$, d v s lösa ekvationen $6-x^2=x^2-2x+2$ - jag tror du har fått fram rätt lösning till den ekvationen nånstans uppe i den här tråden.

Du ser av din skiss att det är kurvan med ett minimum (glad mun)som är underfunktion och den med maximum (sur mun) som är underfunktion. Vilken funktion är det alltså du skall integrera?

Mariz98 skrev:

Men jag vet inte hur jag går tillväga sen?

 Bra! Absolut tillräckligt bra.

Din figur visar tydligt att grafen till $y=6-x^2$ ligger ovanför grafen till $y=x^2-2x+2$ i det aktuella intervallet.

Du ser även att de skärningspunkter du räknat fram (x = -1 och x = 2) stämmer med dina grafer.

Då har du gjort punkt 1, 2 och 3 i Smaragdalenas lista. Fortsätt nu med punkt 4.

Mariz98 skrev:

 Du har fått fel tecken på integranden.

Uttrycket du ska integrera är "övre" funktion minus "undre" funktion, dvs $(6-x^2)-(x^2-2x+2)$.

Börja med att ta fram det uttrycket och läs sedan om integralberäkning här.

Fråga om de delar du inte förstår.

Okej det var så alltså, men ska jag ta både -1 och 2 i båda funktionerna sen minus varandra?

Skriv upp integralen, så att vi kan förstå vad det är du menar. Yngve har skrivit vilken funktion det är som är integrand, men det är en fördel om du förenklar den innan du integrerar.

Har du gjort någon enklare areaberäkning med integrering? Typ arean mellan y=2x och x-axeln mellan x = 0 och x = 2?

Så??

Någon som kan svara på den här också, har jag tänkt rätt?

Nu förstår jag inte vad du sysslar med. 

För det första har du blandat ihop överkurvan och underkurvan. För det andra har du inte förenklat uttrycket. För det tredje har du glömt dx.  För det fjärde har du inte tagit fram en primitiv funktion. Sedan vet jag inte vad det är du gör.

Om vi fortsätter på den aktuella uppgiften, nej, du ska inte börja med att sätta in gränserna, för då spelar det ju ingen roll hur figuren ser ut mellan gränserna. Dessutom blir allt bara noll - du har gjort något räknefel när det inte blir noll. Funktionerna har ju samma värde i gränserna.

Börja med att få fram den primitiva funktionen till det som står efter integraltecknet.

Du verkar ha integrerat och deriverat huller om buller. Den primitiva funktionen till 6 är 6x och den till 2x är x^2, det stämmer, men den primitiva funktionen till x^2 är inte 2x.

Se det inringade

Mariz98 skrev:

Se det inringade

Läs det jag skrev igen.

Jag men jag förstår inte för har redan skrivit x^2 ju och sen blir väl tvåan i slutet 2x?

Mariz98 skrev:

Jag men jag förstår inte för har redan skrivit x^2 ju och sen blir väl tvåan i slutet 2x?

Två termer ser ut som x^2 och jag ser inte dess primitiva funktion. Vad är den primitiva funktionen till x^2?

Vi tar det tydligt, steg för steg: 

Vilken funktion är överfunktion? 

Vilken funktion är underfunktion? 

Vilken funktion är det som är integranden, d v s den funktion som skall integreras?

6-x^2?

Om du menar svaret på den första frågan, d v s vilken funktion som är överfunktion, så skulle det ha varit rätt om det stod "y=" i början. Om du menar vilken funktion som är underfunktion eller vilken funktion  som är integrand, så är det fel (även nu om det skulle ha stått "y=" i början).

Men vad är det rätta då?

Du har två funktioner, $y=6-x^2$ respektive $y=x^2-2x+2$. Vilken av den är ovanför respektive under området som du vill beräkna arean för?

Övre= x^2-2x+2 och undre 6-x^2

Kan du lägga in en bild av de båda kurvorna och rita en pil på den övre kurvan!

Den övre är x^2 eftersom den är positiv och en minimipunkt?

Du får ursäkta, men nu känns det som att du bara sitter och gissar. Det känns som slöseri med tid eftersom även om du skulle råka gissa rätt så kommer du inte att ha lärt dig någonting alls av det.

Kan du besvara följande frågor?

• Vilken skola går du i?
• Har ni gått igenom integraler och primitiva funktioner på någon lektion?
• Kommer du ihåg något av det?

Innan du fortsätter så tycker jag absolut att du ska läsa igenom detta avsnitt med underkapitel.

Gör nu det och skriv här när du är klar.

Fråga om de saker du inte förstår.

Så kan vi fortsätta sen.

------

Till alla andra svarare, har ni något bra tips på youtubeklipp som förklarar detta i grunden?

Jag hinner inte gräva nu.

Nu har jag läst igenom kapitlet om integraler, det fanns ju en uppgift som förklarade hur man skrev funktionen till den ursprungliga därefter F(a)-F(b) men ingeting om hur vet vilken funktion som kan skrivas om

Mariz98 skrev:

Nu har jag läst igenom kapitlet om integraler, det fanns ju en uppgift som förklarade hur man skrev funktionen till den ursprungliga därefter F(a)-F(b) men ingeting om hur vet vilken funktion som kan skrivas om

Då har du sett både vad den primitiva funktionen till x^2 är, och hur man beräknar arean mellan två kurvor. Kan du nu svara på de frågor som du fick förut? Skriv inte bara svaret utan frågan också, så man vet vad du svarar på.

Mariz98 skrev:

Nu har jag läst igenom kapitlet om integraler, det fanns ju en uppgift som förklarade hur man skrev funktionen till den ursprungliga därefter F(a)-F(b) men ingeting om hur vet vilken funktion som kan skrivas om

Vad menar du förresten med "skrev funktionen till den ursprungliga"?

Ja den primitiva

Mariz98 skrev:

Ja den primitiva

OK.

Kan du nu besvara följande frågor?

1. Vilken skola går du i?
2. Har ni gått igenom integraler och primitiva funktioner på någon lektion?
3. Kommer du ihåg något av det?
4. Har du några frågor kring innehållet i avsnitten du läste?