Beräkna arean av det mindre området (Matematik/Matte 3)

Har du ritat?

Smutstvätt skrev:
Har du ritat?

Nej, vet faktiskt inte hur jag ska börja eller så ...

Börja med att rita en cirkel med radien 1 le. och medelpunkt i (0, 1). Rita sedan in f(x) = $\sqrt{x}$ i samma skiss, i området kring cirkeln. Ladda upp en bild på din skiss, så tar vi det därifrån. :)

Smutstvätt skrev:
Börja med att rita en cirkel med radien 1 le. och medelpunkt i (0, 1). Rita sedan in f(x) = $\sqrt{x}$ i samma skiss, i området kring cirkeln. Ladda upp en bild på din skiss, så tar vi det därifrån. :)

Något sånt?

Japp! Vilket är det mindre området? Vilka skärningspunkter finns det? Vilken integral kan vi använda för att hitta arean av det mindre området?

Snyggt! Skärningspunkterna mellan cirkeln och kurvan uppfyller ekvationerna:

$x^2+(y-1)^2=1^2$

och

$y=\sqrt{x}$

Smutstvätt skrev:
Japp! Vilket är det mindre området? Vilka skärningspunkter finns det? Vilken integral kan vi använda för att hitta arean av det mindre området?

Är det typ inte vid (0.0) och (2.2)? Eller är jag helt ute och cyklar?

tomast80 skrev:
Snyggt! Skärningspunkterna mellan cirkeln och kurvan uppfyller ekvationerna:
$x^2+(y-1)^2=1^2$
och
$y=\sqrt{x}$

Jahaa, då är mina skärningspunkter (0, 0) och (1, 1)

Ja! Om du hittar en ekvation för cirkeln, kan du ställa upp en integral, vilken?

Smutstvätt skrev:
Ja! Om du hittar en ekvation för cirkeln, kan du ställa upp en integral, vilken?

typ ... $\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$ ?

Tips:

$A=\int f_{ovre}(x)-f_{undre}(x) dx$

Det kan också vara klokt att dra en rät linje mellan punkten (0,0) och (1,1) och dra nytta av vissa areaformler för cirklar. På det sättet kan integralen lösas enklare utan variabelsubstitution o.d.

Se: https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_segment

tomast80 skrev:
Det kan också vara klokt att dra en rät linje mellan punkten (0,0) och (1,1) och dra nytta av vissa areaformler för cirklar. På det sättet kan integralen lösas enklare utan variabelsubstitution o.d.
Se: https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_segment

Blir lite förvirrad ..

Om man tänker på arean av en kvartscirkel så kan man räkna ut ytan under cirkelbågen utan integraler.

Ett alternativ som kanske känns enklare är att den efterfrågade ytan är lika med "röd yta" minus "blå yta".

Röd yta = integralen av $\sqrt{x}$ från x=0 till x=1.

Blå yta = arean av en kvadrat minus arean av en kvartscirkel.