Beräkna arean

Här kommer vi behöva integrera (hitta arean -> integral). Börja med att hitta integrationsgränserna. :)

Smutstvätt skrev:

Här kommer vi behöva integrera (hitta arean -> integral). Börja med att hitta integrationsgränserna. :)

 Hur gör jag enklast det?

Du hittar dem genom att hitta kurvornas skärningspunkter.

Yngve skrev:

Du hittar dem genom att hitta kurvornas skärningspunkter.

Jag ser ju dem när jag skissar grafen, räcker det eller behöver jag ha en uträkning med? 

Integrationsgränserna är väl 2 och -1 ?

Josefineochnova skrev:

Jag ser ju dem när jag skissar grafen, räcker det eller behöver jag ha en uträkning med? 

Ja du måste beräkna dem.

Vet du hur?

Yngve skrev:

Josefineochnova skrev:

Jag ser ju dem när jag skissar grafen, räcker det eller behöver jag ha en uträkning med? 

Ja du måste beräkna dem.

Vet du hur?

Inte helt hundra så du får gärna förklara hur!

Alla punkter $(x, y)$ som ligger på den gröna parabeln i din bild uppfyller sambandet uppfyller sambandet $y=x^2-2x+2$.

Alla punkter $(x, y)$ som ligger på den röda parabeln i din bild uppfyller sambandet uppfyller sambandet $y=6-x^2$.

Det som är speciellt med skärningspunkterna är att de ligger på båda parablerna.

De båda skärningspunkterna uppfyller alltså båda sambanden.

Det ger dig ett ekvationssystem som, om du löser det, ger dig koordinaterna för skärningspunkterna.

Ekvationssystemet är alltså

$y=x^2-2x+2$

$y=6-x^2$

För att lösa det kan du t.ex. använda substitutionsmetoden eftersom den obekanta storheten $y$ redan står ensamt på ena sidan av likhetstecknet.

Yngve skrev:

Alla punkter $(x, y)$ som ligger på den gröna parabeln i din bild uppfyller sambandet uppfyller sambandet $y=x^2-2x+2$.

Alla punkter $(x, y)$ som ligger på den röda parabeln i din bild uppfyller sambandet uppfyller sambandet $y=6-x^2$.

Det som är speciellt med skärningspunkterna är att de ligger på båda parablerna.

De båda skärningspunkterna uppfyller alltså båda sambanden.

Det ger dig ett ekvationssystem som, om du löser det, ger dig koordinaterna för skärningspunkterna.

Ekvationssystemet är alltså

$y=x^2-2x+2$

$y=6-x^2$

För att lösa det kan du t.ex. använda substitutionsmetoden eftersom den obekanta storheten $y$ redan står ensamt på ena sidan av likhetstecknet.

Nej jag förstår faktiskt inte alls hur jag ska gå tillväga? 

Om skärningspunkten är $(x,y)$ så måste $y$ i ekvationen $y=x^2-2x+2$ vara samma $y$ som i $y=6-x^2$.

Därför måste det för skärningspunkterna gälla att $x^2-2x+2=6-x^2$.

Lös den ekvationen så får du ut de båda skärningspunkternas $x$-koordinater.

Yngve skrev:

Om skärningspunkten är $(x,y)$ så måste $y$ i ekvationen $y=x^2-2x+2$ vara samma $y$ som i $y=6-x^2$.

Därför måste det för skärningspunkterna gälla att $x^2-2x+2=6-x^2$.

Lös den ekvationen så får du ut de båda skärningspunkternas $x$-koordinater.

Sådär nu har jag kommit hit:

Bra, nu har du löst ekvationen $6-x^2=x^2-2x+2$ och kommit fram till att de två lösningarna är $x_1=2$ och $x_2=-1$.

Nästa steg är att kontrollera att $x_1$ och $x_2$ verkligen är lösningar till ekvationen.

Efter det ska du ta reda på vilken av funktionerna som är den "övre" och vilken som är den "undre" funktionen och slutligen sätta upp integralen och beräkna dess värde.

Yngve skrev:

Bra, nu har du löst ekvationen $6-x^2=x^2-2x+2$ och kommit fram till att de två lösningarna är $x_1=2$ och $x_2=-1$.

Nästa steg är att kontrollera att $x_1$ och $x_2$ verkligen är lösningar till ekvationen.

Efter det ska du ta reda på vilken av funktionerna som är den "övre" och vilken som är den "undre" funktionen och slutligen sätta upp integralen och beräkna dess värde.

Hur kontrollerar jag det? 

Samt tar reda på vilken av funktionerna som är övre och undre? 

Josefineochnova skrev:

Hur kontrollerar jag det? 

Hur brukar du göra när du vill kontrollera om din ekvationslösning är korrekt?

Samt tar reda på vilken av funktionerna som är övre och undre? 

Välj en $x$-koordinat mellan rötterna och se vilket av uttrycken $6-x^2$ och $x^2-2x+2$ som ger störst värde. Det är den övre funktionen i intervallet 

Yngve skrev:

Josefineochnova skrev:

Hur kontrollerar jag det? 

Hur brukar du göra när du vill kontrollera om din ekvationslösning är korrekt?

Samt tar reda på vilken av funktionerna som är övre och undre? 

Välj en $x$-koordinat mellan rötterna och se vilket av uttrycken $6-x^2$ och $x^2-2x+2$ som ger störst värde. Det är den övre funktionen i intervallet 

Ja men gud nu läste jag helt fel, kontrollerade ekvationerna och det stämmer. :)

Jag får det till att 6-x^2 är överfunktionen. 

Kan jag sen integrera? 

Ja det stämmer.

Nu kan du sätta upp integralen och beräkna den. Du ska alltså beräkna integralen av (övre funktion - undre funktion) från x = -1 till x = 2.

Yngve skrev:

Ja det stämmer.

Nu kan du sätta upp integralen och beräkna den. Du ska alltså beräkna integralen av (övre funktion - undre funktion) från x = -1 till x = 2.

 Är jag på rätt väg?

Ja det ser helt rätt ut så fortsätt och räkna ut 2:an

Marie51 digital volontär skrev:

Ja det ser helt rätt ut så fortsätt och räkna ut 2:an

 Tack! Får 2:an till 6.

Tar jag sedan bara 1:an - 2:an nu och får därmed ut mitt svar hur stor arean i det området är? 

Det ser helt rätt ut.

Fatime G skrev:

Det ser helt rätt ut.

Så då kan jag alltså skriva såhär som svar: 

Det blev rätt. Bra gjort