Beräkna arean (Matematik/Matte 3/Integraler)

Felet är att du inte har ritat upp funktionerna. Utan att göra det krävs det en väldigt stor erfarenhet för att kunna ta fram vilken integral det är man skall beräkna.

Smaragdalena skrev:
Felet är att du inte har ritat upp funktionerna. Utan att göra det krävs det en väldigt stor erfarenhet för att kunna ta fram vilken integral det är man

Nu har jag kommit hit, vilket är relativt nära rätt svar men något är fortfarande fel:

Det som efterfrågas är arean av det grönmarkerade området.

Den kan du beräkna genom att integrera den övre funktionen minus den undre funktionen från x = 0 fram till graferna skärningspunkt.

Yngve skrev:
Det som efterfrågas är arean av det grönmarkerade området.
Den kan du beräkna genom att integrera den övre funktionen minus den undre funktionen från x = 0 fram till graferna skärningspunkt.

Se mitt uppdaterade svar till smaragdalena!

XDXDXDXDXDXD skrev:

Se mitt uppdaterade svar till smaragdalena!

Du gör två integralberäkningar som båda ger ett negativt resultat, så ingen av dem beskriver en area.

Vad hände med kurvan $y=e^x$ , får inte den vara med alls i dina beräkningar?

Du glömmer den undre gränsen i den första integralen. Den primitiva funktionen är inte noll där.

Var kommer ln6/2 ifrån?

Laguna skrev:
Du glömmer den undre gränsen i den första integralen. Den primitiva funktionen är inte noll där.
Var kommer ln6/2 ifrån?

Vad menar du? Förstår inte...

Ln6/2 är där y=e^2x-6=0

Yngve skrev:
XDXDXDXDXDXD skrev:
Se mitt uppdaterade svar till smaragdalena!
Du gör två integralberäkningar som båda ger ett negativt resultat, så ingen av dem beskriver en area.
Vad hände med kurvan $y=e^x$ , får inte den vara med alls i dina beräkningar?

Jo men räknade ut mycket kring den i mitt första försök (se bilden i mitt första inlägg) så satte bara in svaren i detta, nya, försök.

XDXDXDXDXDXD skrev:
Laguna skrev:
Du glömmer den undre gränsen i den första integralen. Den primitiva funktionen är inte noll där.
Var kommer ln6/2 ifrån?
Vad menar du? Förstår inte...
Ln6/2 är där y=e^2x-6=0

Rita upp kurvorna och areorna riktigt noga.

Varför gör du två integralberäkningar av samma funktion över delvis samma intervall? Kan du rita i din figur för att förklara vad det är du gör?
Förstår du tanken med att arean är lika med integralen av "övre funktion" minus "undre funktion"?

Så här tänker jag. Den översta grafen blev lite dåligt ritad för de negativa X-värdena...

XDXDXDXDXDXD skrev:

Så här tänker jag. Den översta grafen blev lite dåligt ritad för de negativa X-värdena...

Beräkna istället $\int_{0}^{\ln(3)}\!(e^x-(e^{2x}-6))\,\mathrm{d}x$

Trinity2 skrev:
XDXDXDXDXDXD skrev:

Så här tänker jag. Den översta grafen blev lite dåligt ritad för de negativa X-värdena...
Beräkna istället $\int_{0}^{\ln(3)}\!(e^x-(e^{2x}-6))\,\mathrm{d}x$

Okej! Motiveringen bakom? Får man med delen under X-axeln då?

XDXDXDXDXDXD skrev:
Trinity2 skrev:
XDXDXDXDXDXD skrev:

Så här tänker jag. Den översta grafen blev lite dåligt ritad för de negativa X-värdena...
Beräkna istället $\int_{0}^{\ln(3)}\!(e^x-(e^{2x}-6))\,\mathrm{d}x$
Okej! Motiveringen bakom? Får man med delen under X-axeln då?

Det är en vanlig metod för 'area mellan två grafer'. Det är högst troligt beskrivet i din lärobok.

Ja, det beror på att du kan vertikalförflytta båda graferna utan att ändra integralens värde. Den vertikala placeringen av ytan är ej central, så länge du behåller formen och gränserna. Prova addera 8 till båda funktionerna och rita dessa. Ytans storlek blir densamma, men vertikalt förflyttad uppåt och du behöver ej bry dig om vad som är under x-axeln etc. och differensen av areor framgår mera klart.

Trinity2 skrev:
XDXDXDXDXDXD skrev:
Trinity2 skrev:
XDXDXDXDXDXD skrev:

Så här tänker jag. Den översta grafen blev lite dåligt ritad för de negativa X-värdena...
Beräkna istället $\int_{0}^{\ln(3)}\!(e^x-(e^{2x}-6))\,\mathrm{d}x$
Okej! Motiveringen bakom? Får man med delen under X-axeln då?
Det är en vanlig metod för 'area mellan två grafer'. Det är högst troligt beskrivet i din lärobok.

Okej så den generella lösningen för att lösa ut ’areor mellan två grafer’ är att göra en integralberäkning med grafernas skärningspunkt som övre gräns och den undre gränsen avgörs av vilka instruktioner som ges i uppgiften (denna gången var det Y-axeln vilket innebar x=0 men hade det exempelvis varit X-axeln hade man tagit x värdet som ger y=0). Och funktionen man tar är ”övre grafens ekvation-nedre grafens ekvation”?

Kanske lite rörig text... Men nej, har inte fått lära mig detta och har inte vad jag märkt sett något om detta i min lärobok och då har jag gjort alla uppgifter.

XDXDXDXDXDXD skrev:
Trinity2 skrev:
XDXDXDXDXDXD skrev:
Trinity2 skrev:
XDXDXDXDXDXD skrev:

Så här tänker jag. Den översta grafen blev lite dåligt ritad för de negativa X-värdena...
Beräkna istället $\int_{0}^{\ln(3)}\!(e^x-(e^{2x}-6))\,\mathrm{d}x$
Okej! Motiveringen bakom? Får man med delen under X-axeln då?
Det är en vanlig metod för 'area mellan två grafer'. Det är högst troligt beskrivet i din lärobok.
Okej så den generella lösningen för att lösa ut ’areor mellan två grafer’ är att göra en integralberäkning med grafernas skärningspunkt som övre gräns och den undre gränsen avgörs av vilka instruktioner som ges i uppgiften (denna gången var det Y-axeln vilket innebar x=0 men hade det exempelvis varit X-axeln hade man tagit x värdet som ger y=0). Och funktionen man tar är ”övre grafens ekvation-nedre grafens ekvation”?

Kanske lite rörig text... Men nej, har inte fått lära mig detta och har inte vad jag märkt sett något om detta i min lärobok och då har jag gjort alla uppgifter.

Det är rätt uppfattat. Finn vänster och höger integrationsgräns, bilda differensen av graferna och integrera mellan gränserna.

XDXDXDXDXDXD skrev:

[...] Men nej, har inte fått lära mig detta och har inte vad jag märkt sett något om detta i min lärobok och då har jag gjort alla uppgifter.

Egentligen så har du gjort så här hela tiden, även om det inte är någon som har förklarat det för dig.

Jag kan illustrera med två exempel:

1. Kurva ovanför x-axeln: Beräkna arean som begränsas av grafen till funktionen $f(x)=4-x^2$ och $x$ -axeln. Detta är samma sak som att beräkna arean mellan kurvorna $f(x)=4-x^2$ och $g(x)=0$ .

I det aktuella intervallet är övre funktionen $f(x)$ och undre funktionen $g(x)$ .

Du integrerar "övre funktion minus undre funktion", dvs $f(x)-g(x)=f(x)-0=f(x)$ från $x=-2$ till $x=2$ .

2. Kurva under x-axeln: Beräkna arean som begränsas av grafen till funktionen $f(x)=x^2-9$ och $x$ -axeln. Detta är samma sak som att beräkna arean mellan kurvorna $f(x)=x^2-9$ och $g(x)=0$ .

I det aktuella intervallet är övre funktionen $g(x)$ och undre funktionen $f(x)$ .

Du integrerar "övre funktion minus undre funktion", dvs $g(x)-f(x)=0-f(x)=-f(x)$ från $x=-3$ till $x=3$ .

Det här ser mer ut som en Ma4-uppgift än en Ma3-uppgift.