Beräkna arean (Matematik/Matte 4/Integraler och tillämpningar)

Varför skulle du utgå från sin, cos eller tan? Har du ritat upp området?

sin, cos och tan?

Har du ritat?

Förstår inte hur jag ska rita upp den om jag inte vet vilken värdetabell jag ska utgå ifrån

mattelinnea skrev:
Förstår inte hur jag ska rita upp den om jag inte vet vilken värdetabell jag ska utgå ifrån

Du behöver inte rita kurvan $y=\sqrt{x}$ så noga.

Eftersom du ska rita kurvan i x-intervallet $0\leq x\leq 1$ och du inte behöver rita så noga räcker det om du till exempel väljer följande x-värden till din värdetabell: x = 0, x = 0.3, x = 0.6, x = 1

Skissa den kurvan samt de två linjerna och visa din figur.

Utgå från en värdetabell för $f(x)=\sqrt(x)$ . Vilken värdetabell skulle du annars utgå från? Undersök vad f(x) blir för några strategiskt valda värden (0, 1/9, 1/4, 1/2, 3/4, 1, etc.). Hur ser din bild ut?

Är det så här jag ska göra? Och sedan räkna ut arean på ytan jag skuggade?

Ja, precis! Nu kan du ställa upp en integral över områdets area. Hur ser den ut?

Edit: läste fel. Se andra inlägg nedan.

Jag vet faktiskt inte, har aldrig gjort ett liknande tal innan och jag hittar ingen information i boken.

Jag försöker testa mig fram men hittills har jag bara gjort fel

Nja inte riktigt. Linjen som är i figuren är y=x-1. det skulle väl vara linjen y=-x. Det spelar ingen roll för resultatet i detta fall men bör vara rätt i alla fall.

Dessutom skall då en triangel under x axeln ingå i arean.

Så här?

Men jag förstår inte hur jag ska räkna ut arean, exakt vilken yta ska jag räkna ut och hur ställer jag upp det?

Nu har du ritat linjen y=1-x. Sänk den 1 steg så den går genom origo så får du den arean du hade först plus en triangel som ligger under x-axeln med spetsen i punkten (1,-1)

Tack för hjälpen! Så här?

Och är jag i närheten av att hitta rätt lösning till arean? Fast nu ska jag väl räkna gånger 2?

(Förlåt för att det blev så kluddigt, hoppas ni ser ändå)

Nu ser arean rätt ut och det blir inte riktigt 2 gånger den integralen du ställt upp men du kan ta den integral du har och sedan addera arean av triangeln. Alternativt tar du $\int_{0}^{1} \sqrt{x} - (- x) d x$ .

Men den primitiva funktionen till $\sqrt{x}$ är väl inte $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ det är väl derivatan som är detta?

Har nu gjort så här men det blir bara fel, svaret är inte logiskt

du börjar med den integral jag gav dig. Sedan skriver du om roten ur (även om du glömmer integraltecknet). Men vad gör du sedan? Du måste ta fram den primitiva funktionen innan du sätter in gränserna. Tänk dessutom på att -(-x) = +x.

Jag har ingen aning om vad jag gör, jag försöker följa instruktionerna i matteboken men det finns inga tal som liknar detta. Jag har lärt mig hur man använder sig av sin, cos, och naturliga logaritmen etc, men inget som innehåller roten ur (när det gäller integraler)

I formelsamlingen har du att den primitiva funktionen till $x^{n}$ är $\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ det innebär att den primitiva funktionen till $x^{\frac{1}{2}}$ är vad? och den primitiva funktionen till x är vad?

Nu är jag kanske jätte trött men blir den primitiva funktionen av x^n = x ? Men är inte den primitiva funktionen av x -> x^1 ?

och var har jag inte ändrat -(-x) till + x?

Jag tror att du tänker på att den primitiva funktionen till f(x)=1 är F(x)=x+C.

Det står x upphöjt till x+1 inte x gånger x+1 i täljaren så den primitiva funktionen till $x^{2}$ blir $\frac{x^{3}}{3}$ .

Du har ändrat till + när du sätter in gränserna men du kan (bör) göra det redan på raden innan så du får integralen $\int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{2}} + x) d x$

mattelinnea skrev:
Nu är jag kanske jätte trött men blir den primitiva funktionen av x^n = x ? Men är inte den primitiva funktionen av x -> x^1 ?
och var har jag inte ändrat -(-x) till + x?

Det finns ett samband mellan en funktion f(x) och dess primitiva funktion F(x).

Om F(x) är en primitiv funktion till f(x) så gäller att F'(x) = f(x).

Ibland säger man att den primitiva funktionen F(x) är "antiderivatan" till f(x).

Med hjälp av det sambandet kan du alltid kontrollera om du hittat en primitiv funktion som är korrekt:

Derivera ditt förslag på primitiv funktion. Om derivatan är lika med ursprungsfunktionen så hade du en korrekt primitiv funktion.

Använd alltid detta knep för att kontrollera om dina förslag på primitiva funktioner är rätt.

Hur jag än gör så får jag inte rätt svar.

på den ”övre arean” räknade jag första gången med minus i sista ledet och fick 0,5 vilket kunde vara logiskt.

men det är den undre som förstör allt. Antingen får jag 0 eller -2 på en area med en yta som är synligt större, det är ju inte logiskt.

Kan någon visa mer konkret vad jag ska göra? Är så sjukt tacksam för all hjälp och jag är ledsen att jag inte förstår, jag försöker verkligen.

mattelinnea skrev:

Hur jag än gör så får jag inte rätt svar.
på den ”övre arean” räknade jag första gången med minus i sista ledet och fick 0,5 vilket kunde vara logiskt.
men det är den undre som förstör allt. Antingen får jag 0 eller -2 på en area med en yta som är synligt större, det är ju inte logiskt.
Kan någon visa mer konkret vad jag ska göra? Är så sjukt tacksam för all hjälp och jag är ledsen att jag inte förstår, jag försöker verkligen.

Övre arean: Eftersom $\sqrt{x}=x^{0.5}$ så är en primtiv funktion till $\sqrt{x}$ lika med $\frac{x^{1.5}}{1.5}$ och integralen av $\sqrt{x}$ från 0 till 1 är då $\frac{1^{1.5}}{1.5}-\frac{0^{1.5}}{1.5}=\frac{1}{1.5}=\frac{2}{3}$ .

Undre arean: Detta är en triangel med bas 1 och höjd 1. Arean är alltså lika med 1/2.

Summera dessa så är du klar.