beräkna arean

K.Ivanovitj skrev :

Hej

jag har lite problem med att komma vidare med följande uppgift:

I ett cylindriskt rör med radien 4 cm stansas ett cirkulärt hål ut. Hålet har radien 4cm. 

Beräkna arean av den bortstansade plåtbiten.

Arean för en cylinder kan man väl få fram genom $2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r\left(h+r\right)$

Vi vet ju av uppgiften att radien är 4 men det finns ju ingen uppgift om höjden. 

Det är ett cylindriskt rör, dvs det saknar "lock" och "botten".

Men det spelar ingen roll vad höjden är, för det som efterfrågas är arean av den bortstansade biten, som alltså är sadelformad.

Så här ungefär alltså:

okej ska man allts räkna fram arean som om den bortstansade biten är en ellips? men jag är inte med på hur man får fram halvaxlarna av informationen vi har.

jag såg i ett exempel på denna uppgift där dom satt axlarna som 2a= $8\sqrt{2}$ och 2b= 8 och därefter tar formeln för arean av en ellips och får $\pi \times a\times b=\pi 16\sqrt{2}$

men jag förstår inte riktigt hur dom har fått fram siffrorna 2a= $8\sqrt{2}$ och 2b=8

Hämta en toapappersrulle (eller hushållsrulle) och gör en modell av frågan. Det verkar som om en tvådimensionell bild inte räcker till, eftersom du har svårt att se att den långa axeln blir halva omkretsen för en cirkel med radien 4 och att den korta axeln blir diametern i en cirkel med radien 4.

Okej, jag tror att jag har fått en bättre uppfattning om hur biten ser ut.

om jag har räknat rätt får jag då att den långa axeln blir $\pi \times r=4\pi$ och den korta axeln blir $2\times r=8$

men tillslut ska man få arean $64c{m}^2$, ska man inte sätta $\pi$*långa axeln*korta axeln?

K.Ivanovitj skrev :

Okej, jag tror att jag har fått en bättre uppfattning om hur biten ser ut.

om jag har räknat rätt får jag då att den långa axeln blir $\pi \times r=4\pi$ och den korta axeln blir $2\times r=8$

Ja det stämmer.

men tillslut ska man få arean $64c{m}^2$, ska man inte sätta $\pi$*långa axeln*korta axeln?

Nej det stämmer inte. Då skulle ellipsen ha större area än den omskrivna rektangeln.

Ellipsens area $A=a\cdot b\cdot \pi$, där a och b är halva längden av ellipsens stor- respektive lillaxel.

Arean borde alltså bli $4\cdot 2\pi=8\pi \approx 25 cm^2$.

Det är de båda halv-axlarna som skall multipliceras med varandra och med $\pi$.

Den korta axeln är 8, så den korta halv-axeln är 4. Den långa axeln är $4 \pi$, så halv-axeln är $2 \pi$. Arean borde bli $\pi \cdot 4 \cdot 2 \pi = 8 \pi^2$. Det blir knappt 79 kvadratcentimeter.

det är konstigt för jag har skrivit av uppgiften korrekt men det står ändå att arean ska vara 64$c{m}^2$ så någonstans måste det ha blivit fel.

Kan du ha tittat på fel uppgift i facit? Det låter löjligt, men det händer oftare än man vill tro.

Om röret har radien 4 cm, och det stansade hålet också har radien 4 cm
så blir det inget stansat hål, utan röret klipps av istället.
För att det ska bli ett hål i röret, och röret fortsätter vara ett rör med ett
hål i, så måste radien på de stansade hålet vara mindre än radien på röret.

EDIT:  Fel av mig. Inser nu när jag sett bilden. Jag trodde felaktigt att
            hålet gick igenom röret.

Så ser hela frågan ut och i svaret står det $64c{m}^2$

Det intressanta var inte att röret skulle vara intakt, utan arean av den utstansade ellipsen. För övrigt har du rätt i att röret skulle gå av.

EDIT: Den här uppgiften blev helt missvisande utan bilden.

Hej,

Låt hålet ha x-axeln som centrumlinje, projicera en cirkel med radien 4 runt origo i yz-planet

$y^2+z^2\leq 16$

Cylinderkoordinater ger ($\rho=4$)

$z^2\leq 16-\rho^2\sin^2(\varphi)=16\cos^2(\varphi)$, alltså ska $|z|\leq |4\cos(\varphi)|$, tänk på att det cylindriska ytelementet för fix radie är $\rho\, d\varphi dz$

$\displaystyle \int_{\varphi=-\pi/2}^{\pi/2} \int_{z=-4cos(\varphi)}^{4\cos(\varphi)}4\, dzd\varphi=64$

okej vad bra, så vi sätter alltså $y^2+z^2\le 16$ eftersom vi projicerar en cirkel i yz planet och radie 4 och 16 får vi då av att radien är 4 och $4^2=16$ ?

men jag är lite osäker då vi går över till cylindriska koordinater, då vi byter till cylindriska koordinater får vi ju att $$\begin{gathered} x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=h \end{gathered}$$

sätter vi då alltså $\rho$ som radien? då $\rho =4$

sedan har vi endast kvar z^2 i VL men jag förstår inte hur vi får att $\left|z\right|\le \left|4\cos \phi \right|$ vad händer med $16-{\rho }^2{\sin }^2\left(\phi \right)$ ?

K.Ivanovitj skrev :

okej vad bra, så vi sätter alltså $y^2+z^2\le 16$

men jag är lite osäker då vi går över till cylindriska koordinater, då vi byter till cylindriska koordinater får vi ju att 

$$\begin{gathered} x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=h \end{gathered}$$

sätter vi då alltså $\rho$ som radien? då $\rho =4$

Med dina beteckningar är $r=4$, $y=4\sin(\theta)$, $z=h$ varför $z^2+y^2\leq16$ blir

$h^2+(4\sin(\theta))^2\leq 16$

$h^2\leq 16(1-\sin^2(\theta))$

$h^2\leq 16\cos^2(\theta)$

$|h|\leq 4|cos(\theta)|$

Då $\theta \in[-\pi/2,\pi/2]$ gäller alltså

$-4\cos(\theta)\leq h \leq 4\cos(\theta)$

Är du med på det?

jag är med fram tills då $\theta \in \left[-\pi /2,\pi /2\right]$ därmed är jag inte helt med på hur vi får fram integrationsgränserna, att vi får 4cos theta är jag med på men inte -4cos theta, och var får vi plus/minus pi/2 ifrån?

I cylindriska koordinater ges en punkt på cylinderns mantelyta av två parametrar, vinkeln $\theta$ och var någonstans i z-led vi är $h$. På mantelytan är radien alltid $r=4$.

Vi ska borra ett hål i cylindern. Hålet är symmetriskt placerat runt  x-axeln, från x=4 till x=0. Vi behöver ta reda på hur vi ska komma åt den del av mantelytan som påverkas av hålet. Ett sätt att göra det är att konstatera att y och h måste uppfylla $y^2+h^2\leq 16$ eftersom hålet projicerar en cirkel i hy-planet. Vinkeln $\theta$ måste svepa från $-\pi/2$ till $\pi/2$ eftersom vi bara är intresserade av "framsidan" av cylindern i xy-planet (den röda delen av mantelytan sett ovanifrån, se bild).

Villkoret i hy-planet ger att $|h|\leq|4\cos(\theta)|$

I intervallet gäller $\cos(-\theta)=\cos(\theta)$. För att uppfylla villkoret i hy-planet måste därför h-koordinaten :

$-4\cos(\theta)\leq h\leq 4\cos(\theta)$

jag har lite svårt att få det att stämma när jag ska beräkna dubbelintegralen.

Jag får att vi har $\frac{\pi }{2}\times 32\cos \theta +\frac{\pi }{2}\times 32\cos \theta =32\pi \cos \theta$

hur kom du fram till 64?

$\displaystyle \iint_S r\, dzd\varphi=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{-4\cos(\theta)}^{4\cos(\theta)}4\,dzd\varphi=4\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(8\cos(\theta))d\varphi$

$\displaystyle 4\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(8\cos(\theta))d\varphi=32[\sin(\theta)]_{-\pi/2}^{\pi/2}=64$