Beräkna antalet element

Jag ska beräkna antalet element i $A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}$ om det finns

104 element i $A_{1}$ ,

1 000 element i $A_{2}$

och 10 100 element i $A_{3}$

i var och en av följande situationer:

a) Mängderna är parvis disjunkta

b) $A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq A_{3} .$

c) Det finns 15 element gemensamma för varje par av mängder och 2 element gemensamma för alla tre mängderna.

Om vi börjar med a-uppgiften så vet jag att $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset, f ö r j \neq i .$

Det finns alltså inga gemensamma element i några av paren av mängder. Jag får det till att antalet gemensamma element för de tre mängderna måste vara 0. Alltså att unionen är noll för $A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} .$ Tänker jag rätt?

EDIT: Nej, jag har skrivit fel. Visst är det sant att de inte har några gemensamma element, men då är ju unionen att man lägger ihop alla elementen i de tre mängderna och i detta fall blir det 104 + 1000 + 10 100 = 11 204 element om man tar unionen av de tre mängderna.

Ja, du tänker rätt, disjunkta mängder saknar gemensamma element, därav har deras union kardinaliteten noll.

När man arbetar med sådana här uppgifter kan det vara bra att rita Venndiagram.

Unionen är väl att man lägger ihop elemänten?
A₁= {1, 3 ,5} , A₂= {2 , 4 }
Då blir väl A₁U A₂={1, 2, 3, 4, 5}
Sen är snittet mellan dem noll.

Egocarpo skrev:
Unionen är väl att man lägger ihop elemänten?
A₁= {1, 3 ,5} , A₂= {2 , 4 }
Då blir väl A₁U A₂={1, 2, 3, 4, 5}
Sen är snittet mellan dem noll.

Det har du rätt i. Det verkar som om både Lisa och jag tänkte snitt men skrev union. Det gäller att vara vaken. :-)

Haha ok, blev lite rädd för att jag hade missförstått något där. Om ni hade pratat om snittet så håller jag med om resultatet. :)

a) Ok, då är antalet element i $A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}$ att man lägger ihop alla elementen. Eftersom det inte fanns några gemensamma element i de tre mängderna så blir det bara att man adderar elementen rakt av.

TACK Egocarpo.

b) Då har vi vidare att $A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq A_{3}$ , dvs att $A_{1}$ är en delmängd av $A_{2}$ och $A_{2}$ är en delmängd av $A_{3} .$ Då finns det sammanlagt 10100 olika element eftersom de andra mängderna ( $A_{1} o c h A_{2}$ ) båda ingår i den mängd som har störst antal element ( $A_{3}$ ). Om man då vill ta unionen av de tre mängderna så måste det ju bli att man lägger ihop alla elementen och det finns ju bara 10100 som är olika och då har vi 10100 element som svar på fråga b.

Verkar det rätt?

c) Här ska vi beräkna antal element i $A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}$ när det finns 15 element gemensamma för varje par av mängder och 2 element gemensamma för alla tre mängderna. Jag tänker första att vi har det sammanlagda antalet element ifall att det inte skulle finnas några gemensamma element, vilket är 11 204 (från deluppgift a). Därefter ska jag dra bort de gemensamma elementen. Det finns tre par av mängder att bilda av de tre mängderna och för varje par finns det 15 gemensamma element. Då kan jag dra bort 45 element. Sedan finns det också 2 element som finns i alla tre mängderna. Där drar jag bort 3 * 6 men jag tror inte att jag gör rätt. Jag har ritat venndiagram, men ändå är det svårt att förstå vad jag egentligen ska dra bort.

Jag håller med. För A₁ U A₂ =A₂

Sen A₂ U A₃ = A₃

Så (A₁ U A₂)U A₃= A₂ U A₃ = A_3.

Lisa Mårtensson skrev:

Fint venndiagram . :)

Utifrån Venndiagrammet räknar jag så här:

Vi har mängden A_1 som har 104 element.

Sedan har vi mängden A_2 som har 1000-15-2=983 element.

Slutligen har vi mängden A_3 som har 10100-15-15-2=10068 element.

Jag adderar antalet element 104+983+19068 och det blir 11155 element. Det skulle då, enligt mig vara unionen av de tre mängderna, dvs de element som finns i antingen A_1, A_2 eller A_3.

Nu har jag svaren

a) 11 204

b) 10 100

c) 11 155

men minst ett av svaren är fel för jag får inte rätt på uppgiften. Var kan jag ha resonerat fel?

jag tänker mängderna A₁,A₂,A₃ sen dra bort mängden A₁UA₂,A₂UA₃,A₃UA₁ men sen lägga till mängden A₁UA₂UA₃ för att du har dragit bort dem en gång för mycket. 11 204 -(15 +15 +15) +2 . Sista tvåan blir ju för att två av orden fanns ju med i alla tre, då dras de bort en gång för mycket i andra steget.

Tack så mycket! Där hade vi det. Bra förklarat.

c) 11 161 element

Svara

Visa senaste svar