Beräkna acceleration av partikel i rymden

Frågan lyder "A particle moves along the curve r = 3ui + 3(u^2)j + 2(u^3)k in the direction corresponding to increasing u and with a constant speed of 6. Find the velocity and acceleration of the particle when it is at the point (3, 3, 2)"

Jag beräknade velocity vid (3, 3, 2) och fick v = 2i +4j +4k vilket är korrekt enligt facit, men får inte rätt acceleration som ska vara lika med (-8/9)(2i + j - 2k), och skulle uppskatta hjälp med att beräkna denna acceleration.

Jag har försökt använda mig av a = dv/dt där v = dr/dt = (du/dt)*(dr/du).

du/dt beräknade jag till 6/sqrt(9+36(u^2) + 36(u^4)). (med hjälp av faktum att speed = 6 = abs(v))

dr/du beräknas enkelt till 3i + 6uj + 6(u^2)k

Jag är osäker på hur jag ska beräkna dv/dt dock.

Derivera en gång till bara. Det blir grötigt men så är det alltid. Vad är det för kurs?

Kursen är Flervariabelanalys. Är osäker på hur jag deriverar v med avseende på t, när jag bara har u som variabel i uttrycket för v. Om jag ställer upp uttrycket a = dv/dt = (d^2u/dt^2)*(d^2r/du^2), så fås den andra faktorn enkelt genom att bara derivera r med avseende på u igen. Men hur hittar jag (d^2u/dt^2)? För att hitta du/dt för velocity så använde jag mig av speed = abs(velocity) = 6 = abs(du/dt)*abs(dr/du) och kunde då lösa ut (du/dt)=6/abs(dr/du) för att få ett uttryck.

Ser inget liknande trick för att beräkna nästa derivata dock.

zelscore skrev:
Kursen är Flervariabelanalys. Är osäker på hur jag deriverar v med avseende på t, när jag bara har u som variabel i uttrycket för v. Om jag ställer upp uttrycket a = dv/dt = (d^2u/dt^2)*(d^2r/du^2), så fås den andra faktorn enkelt genom att bara derivera r med avseende på u igen. Men hur hittar jag (d^2u/dt^2)? För att hitta du/dt för velocity så använde jag mig av speed = abs(velocity) = 6 = abs(du/dt)*abs(dr/du) och kunde då lösa ut (du/dt)=6/abs(dr/du) för att få ett uttryck.
Ser inget liknande trick för att beräkna nästa derivata dock.

Pröva att använda MathType (rottecknet uppe till höger), det gör att det mer läsbart. Vi har att:

$\overset{⇀}{v} = \frac{d \overset{⇀}{r}}{d t} = \frac{d u}{d t} \frac{d \overset{⇀}{r}}{d u}$

Tyvärr går det lite snett när du ska derivera igen då du glömmer kedjeregeln. Vi får nämligen att:

$\overset{⇀}{a} = \frac{d^{2} \overset{⇀}{r}}{d t^{2}} = \frac{d}{d t} (\frac{d u}{d t} \frac{d \overset{⇀}{r}}{d u}) = \frac{d^{2} u}{d t^{2}} \frac{d \overset{⇀}{r}}{d u} + \frac{d u}{d t} \frac{d^{2} \overset{⇀}{r}}{d u^{2}}$

Vi kan bestämma du/dt från faktumet att vi har farten på partikeln till:

$\frac{d u}{d t} = \frac{6}{\sqrt{9 + 36 u^{2} + 36 u^{4}}}$

Om vi deriverar denna så får vi:

$\frac{d^{2} u}{d t^{2}} = - \frac{3 (72 u \frac{d u}{d t} + 144 u^{3} \frac{d u}{d t})}{(9 + 36 u^{2} + 36 u^{4})^{3 / 2}}$

Vilket i punkten $(3, 3, 2) \to u (t) = 1, \frac{d u}{d t} = \frac{2}{3}$ ger oss:

$\frac{d^{2} u}{d t^{2}} = - \frac{432}{729} = - \frac{16}{27}$

Ebola skrev:
zelscore skrev:
Kursen är Flervariabelanalys. Är osäker på hur jag deriverar v med avseende på t, när jag bara har u som variabel i uttrycket för v. Om jag ställer upp uttrycket a = dv/dt = (d^2u/dt^2)*(d^2r/du^2), så fås den andra faktorn enkelt genom att bara derivera r med avseende på u igen. Men hur hittar jag (d^2u/dt^2)? För att hitta du/dt för velocity så använde jag mig av speed = abs(velocity) = 6 = abs(du/dt)*abs(dr/du) och kunde då lösa ut (du/dt)=6/abs(dr/du) för att få ett uttryck.
Ser inget liknande trick för att beräkna nästa derivata dock.
Pröva att använda MathType (rottecknet uppe till höger), det gör att det mer läsbart. Vi har att:
$\overset{⇀}{v} = \frac{d \overset{⇀}{r}}{d t} = \frac{d u}{d t} \frac{d \overset{⇀}{r}}{d u}$
Tyvärr går det lite snett när du ska derivera igen då du glömmer kedjeregeln. Vi får nämligen att:
$\overset{⇀}{a} = \frac{d^{2} \overset{⇀}{r}}{d t^{2}} = \frac{d}{d t} (\frac{d u}{d t} \frac{d \overset{⇀}{r}}{d u}) = \frac{d^{2} u}{d t^{2}} \frac{d \overset{⇀}{r}}{d u} + \frac{d u}{d t} \frac{d^{2} \overset{⇀}{r}}{d u^{2}}$
Vi kan bestämma du/dt från faktumet att vi har farten på partikeln till:
$\frac{d u}{d t} = \frac{6}{\sqrt{9 + 36 u^{2} + 36 u^{4}}}$
Om vi deriverar denna så får vi:
$\frac{d^{2} u}{d t^{2}} = - \frac{3 (72 u \frac{d u}{d t} + 144 u^{3} \frac{d u}{d t})}{(9 + 36 u^{2} + 36 u^{4})^{3 / 2}}$
Vilket i punkten $(3, 3, 2) \to u (t) = 1, \frac{d u}{d t} = \frac{2}{3}$ ger oss:
$\frac{d^{2} u}{d t^{2}} = - \frac{432}{729} = - \frac{16}{27}$

Okej tack för hjälpen, glömde kedjeregeln som du säger. Men med det sagt står det i facit att

$a = - \frac{8}{9} (2 i + j - 2 k)$ vilket är $\approx$ -1.78i - 0.89j +1.78k

Dock, med kedjeregeln, där $x = 3 u$ , y = $3 u^{2}$ och $z = 2 u^{3}$ , får jag i punkten:

$a \approx - \frac{16}{27} (3 i + 6 j + 6 k) + \frac{2}{3} (6 j + 12 k) \approx \approx - 1.78 i - 3.56 j - 3.56 k + 4 j + 8 k = - 1.78 i + 0.44 j + 4.44 k$

Vilket är fel. Uttrycken i parentes, t.ex den första, fick jag fram så här: $\frac{d r}{d u} = (3 i + 6 u j + 6 u^{2} k) = (3 i + 2 x j + 2 y k) = (3 i + 6 j + 6 k)$

zelscore skrev:
Okej tack för hjälpen, glömde kedjeregeln som du säger. Men med det sagt står det i facit att
$a = - \frac{8}{9} (2 i + j - 2 k)$ vilket är $\approx$ -1.78i - 0.89j +1.78k
Dock, när jag använder kedjeregeln, och sätter in (3, 3, 2) där x = 3u, y = $3 u^{2}$ och $z = 2 u^{3}$ , får jag då a(3,3,2) till

$a \approx - \frac{16}{27} (3 i + 6 j + 6 k) + \frac{2}{3} (6 j + 12 k) \approx \approx - 1.78 i - 3.56 j - 3.56 k + 4 j + 8 k = - 1.78 i + 0.44 j + 4.44 k$

vilket är fel? Uttrycken i parentes, t.ex den första, fick jag fram så här: $\frac{d r}{d u} = (3 i + 6 u j + 6 u^{2} k) = (3 i + 2 x j + 2 y k) = (3 i + 6 j + 6 k)$

Jag gjorde inte felet när jag kontrollräknade men gjorde ett fel när jag skulle skriva det. Som vanligt är det inre derivatan. Om du studerar accelerationsuttrycket jag skrev:

$\overset{⇀}{a} = \frac{d^{2} u}{d t^{2}} \frac{d \overset{⇀}{r}}{d u} + \frac{d u}{d t} \frac{d^{2} \overset{⇀}{r}}{d u^{2}}$

Här ser du att andra termen är fel. Vi behöver en inre derivata av u. Vi kan studera närmre vad som händer i kedjeregeln:

$\frac{d u}{d t} [\frac{d}{d t} (\frac{d \overset{⇀}{r}}{d u})] = \frac{d u}{d t} [\frac{d^{2} \overset{⇀}{r}}{d u^{2}} \frac{d u}{d t}] = {(\frac{d u}{d t})}^{2} \frac{d^{2} \overset{⇀}{r}}{d u^{2}}$

Om du stoppar in alla dina värden nu får du rätt svar.

zelscore skrev:
Vilket är fel. Uttrycken i parentes, t.ex den första, fick jag fram så här: $\frac{d r}{d u} = (3 i + 6 u j + 6 u^{2} k) = (3 i + 2 x j + 2 y k) = (3 i + 6 j + 6 k)$

Här måste jag påpeka att det du gör är fel. Vi har att:

$r = 3 u i + 3 u^{2} j + 2 u^{3} k$

Denna vektorn kan vi flytta till origo när vi rör oss i ett kartesiskt rum vilket innebär att om vi är i punkten (3, 3, 2) får vi att vektorkomponenterna måste vara:

$\{\begin{matrix} 3 u = 3 \\ 3 u^{2} = 3 \\ 2 u^{3} = 2 \end{matrix}$

Detta är bara möjligt om $u (t) = 1$ i punkten. Därmed får vi att:

$\frac{d r}{d u} = 3 i + 6 u j + 6 u^{2} k = 3 i + 6 j + 6 k$

Det har alltså inget med att vi ersätter u med x eller y.

Ebola skrev:
zelscore skrev:
Vilket är fel. Uttrycken i parentes, t.ex den första, fick jag fram så här: $\frac{d r}{d u} = (3 i + 6 u j + 6 u^{2} k) = (3 i + 2 x j + 2 y k) = (3 i + 6 j + 6 k)$
Här måste jag påpeka att det du gör är fel. Vi har att:
$r = 3 u i + 3 u^{2} j + 2 u^{3} k$
Denna vektorn kan vi flytta till origo när vi rör oss i ett kartesiskt rum vilket innebär att om vi är i punkten (3, 3, 2) får vi att vektorkomponenterna måste vara:
$\{\begin{matrix} 3 u = 3 \\ 3 u^{2} = 3 \\ 2 u^{3} = 2 \end{matrix}$
Detta är bara möjligt om $u (t) = 1$ i punkten. Därmed får vi att:
$\frac{d r}{d u} = 3 i + 6 u j + 6 u^{2} k = 3 i + 6 j + 6 k$
Det har alltså inget med att vi ersätter u med x eller y.

Tack för all din hjälp!

Angående min omskrivning från u till (x,y,z), tänkte jag att u kunde ses som variabel använt för att parametrisera kurvan r, och då trodde jag det var legitimt att säga att x = u, och då är y = 3u^2, och z = 2u^3. Är du säker på att det är fel? Spontant känns det som att vi gör exakt samma sak, men att du för ett mer generellt resonemang

zelscore skrev:
Ebola skrev:
zelscore skrev:
Vilket är fel. Uttrycken i parentes, t.ex den första, fick jag fram så här: $\frac{d r}{d u} = (3 i + 6 u j + 6 u^{2} k) = (3 i + 2 x j + 2 y k) = (3 i + 6 j + 6 k)$
Här måste jag påpeka att det du gör är fel. Vi har att:
$r = 3 u i + 3 u^{2} j + 2 u^{3} k$
Denna vektorn kan vi flytta till origo när vi rör oss i ett kartesiskt rum vilket innebär att om vi är i punkten (3, 3, 2) får vi att vektorkomponenterna måste vara:
$\{\begin{matrix} 3 u = 3 \\ 3 u^{2} = 3 \\ 2 u^{3} = 2 \end{matrix}$
Detta är bara möjligt om $u (t) = 1$ i punkten. Därmed får vi att:
$\frac{d r}{d u} = 3 i + 6 u j + 6 u^{2} k = 3 i + 6 j + 6 k$
Det har alltså inget med att vi ersätter u med x eller y.
Tack för all din hjälp!

Angående min omskrivning från u till (x,y,z), tänkte jag att u kunde ses som variabel använt för att parametrisera kurvan r, och då trodde jag det var legitimt att säga att x = u, och då är y = 3u^2, och z = 2u^3. Är du säker på att det är fel? Spontant känns det som att vi gör exakt samma sak, men att du för ett mer generellt resonemang

Bortsett från att du nu skrev lite fel eftersom vi måste ha att $x = 3 u$ har du tänkt helt rätt och du gjorde absolut inte fel. Jag snurrade till det då det kändes som en så knasig parametrisering av $r = x i + y j + z k$ .

Bra jobbat!

Svara

Visa senaste svar