Beräkna

Nu måste jag fråga: Vad är det du fastnar på? Du kan ju additionsformlerna, det vet vi ju.

Jag ska koppla mig till dator. Blir det lite lättare se något. 

Aha , nu ser jag . Du har, skrivit fel vinkel på ett ställe.

Och så behöver du tänka en gång extra på hur sin ochcos för 120 och 240 hänger ihop.

120 ligger om det handlar om cosinus, så är den i andra kvadranten och den andra tredje kvadraten. Båda är minus

Du borde, med hjälp av enhetscirkeln, kunna klura ut de exakta värdena för både sin(120), cos(120), sin(240) och cos(240).

Om inte annat kan du ju använda additionsformlerna även på dessa uttryck. Då kan du använda att

240 = 120 + 120

120 = 60 + 60

$$\begin{gathered} \sin \left(a\right) + \sin (a+120°) + \sin ( a+ 240° ) \\ --------------------- \\ \sin \left(a\right) + ( \sin (a)·\cos (120) + \cos (a)·\sin (120) + \sin (a)·\cos (240)+\cos (a)·\sin (240) \\ \cos 120=-0,5 \\ \sin 120=0,866025 \\ \cos 240=-0,5 \\ \sin 240=-0,866025 \\ -------------- \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sin (120°) ligger i andra kvadranten och är positiv \\ \cos (120°) negativ \\ \sin (240°) i tredje " negativ \\ \cos (240°) " negativ \end{gathered}$$

Du kan bestämma värdena för $sin(120), sin(240)$ exakt, använd att $sin(120) = sin(90 + 30)$ och att $sin(240) = sin(270 - 30)$.

Päivi skrev :

$$\begin{gathered} \sin (120°) ligger i andra kvadranten och är positiv \\ \cos (120°) negativ \\ \sin (240°) i tredje " negativ \\ \cos (240°) " negativ \end{gathered}$$

Vi förstår vad du menar och vi ser att du tänker rätt, men jag vill ändå vara petig och kommentera en liten sak.

Man säger att en vinkel ligger i en viss kvadrant.

Sinusvärdet för vinkeln är däremot bara ett tal och som sådant "ligger det" inte i någon kvadrant alls.

Samma sak för cosinusvärdet, det är bara ett tal och ligger inte heller det i någon kvadrant.

Det ligger bara vinklar i grader i olika kvadranter. Därför blev jag fundersam på uppgiften. Jag tyckte att det här är en omöjlig sak att räkna ut. 

Päivi skrev :

Det ligger bara vinklar i grader i olika kvadranter. Därför blev jag fundersam på uppgiften. Jag tyckte att det här är en omöjlig sak att räkna ut. 

Vad är det du tycker är konstigt med uppgiften? Använd enhetscirkeln för att avgöra hur sin 120 grader och sin 240 grader förhåller sig till sin 60 grader (+ eller -). Använd "en halv liksidig triangel" för att ta reda på de exakta värdena för sin 120 grader och sin 240 grader. Sätt in de exakta värdena i additionsformeln och förenkla.

Instämmer. Det klarnar om man studerar enhetscirkeln!

Var har du hittat den där enhets cirkeln ifrån tomast 80?

Päivi skrev :

Var har du hittat den där enhets cirkeln ifrån tomast 80?

Här är en liknande, Päivi.

(Google "Exakta värden för olika vinklar visas i enhetscirkeln")

Jag har de i min formel samlingen. Man är inte van läsa de där. Nu förstår jag. 

Jag är inte säker på att jag vet, hur jag ska gå tillväga med detta. Jag har förstått det där nu lite mer än tidigare. Det här är väldigt nytt för mig. Det är bra att det blir problem, lägger man större vikt på saker, vad som är viktigt. Visst har jag lärt lite om matte 4 trigonometri. 

Päivi skrev :

Jag har de i min formel samlingen. Man är inte van läsa de där. Nu förstår jag. 

Jag är inte säker på att jag vet, hur jag ska gå tillväga med detta. Jag har förstått det där nu lite mer än tidigare. Det här är väldigt nytt för mig. Det är bra att det blir problem, lägger man större vikt på saker, vad som är viktigt. Visst har jag lärt lite om matte 4 trigonometri. 

Ja du har lärt dig mycket om trigonometri Päivi.

Enhetscirkeln är ett fantastiskt bra hjälpmedel när det gäller att förstå och lösa problem som har med trigonometri att göra, så du kommer verkligen att tjäna på att lära dig hur den fungerar.

Leta gärna efter "enhetscirkeln" på YouTube, där finns nog massor av bra instruktionsfilmer.

Jag borde skriva ut  enhets cirkel sak. . De var intressanta bilder måste jag säga Yngve. 

Päivi skrev :

Var har du hittat den där enhets cirkeln ifrån tomast 80?

Den finns i appen "Formelsamlingen" som Mattecentrum utgivit (gratis).

Tack för detta Yngve. Jag ska nog se till skriva ut det här. Verkar mycket intressant. Jag måste bara träna, då sitter det. 

Jag tänkte ta skriva ut allt detta. Detta är viktigt ändå. Jag åter kommer snart om uppgiften. 

Jag antar att du vill att vi ska kolla dina uträkningar.

Du verkar ha räknat ut att sin(120) + sin(240) = 0, och det stämmer.

Däremot så har detta inte riktigt med ursprungsuppgiften att göra.

Och du har skrivit ett par fel i uträkningarna:

Likheten inringad i rött stämmer inte.

Inte heller den inringad i blått.

Varje gång du skriver ett likhetstecken så måste det som står före likhetstecknet vara identiskt med det som står efter, annars är det helt enkelt fel.

Jag vet att du oftast tänker rätt men tyvärr ofta skriver fel. Jag vill att du, varje gång du skriver ett likhetstecken, funderar lite extra på om det som står före verkligen är samma sak som det som står efter.

Hur ska jag göra då, när det gäller ursprungliga uppgiften? 

Om jag skriver fel, är det bäst rätta upp felet då, så jag vet, hur det ska vara. 

Päivi skrev :

Hur ska jag göra då, när det gäller ursprungliga uppgiften? 

Du ska förenkla uttrycket sin(a) + sin(a + 120) + (a + 240).

Du har här i tråden fått flera tips på hur du kan gå tillväga.

Alla tips går ut på att ersätta sin(a + 120) och sin(a + 240) med något annat.

Det kan du göra genom att:

1. Ersätta sin(a + 120) och sin(a + 240) med något annat med hjälp av additionsformeln för sinus. Då kommer du att få flera uttryck av formen sin(a), cos(a), sin(120), cos(120), sin(240) och cos(240).
2. Ersätta alla uttryck utom sin(a), cos(a) med respektive exakta värden, från tabell eller från "Exakta värden för olika vinklar visas i enhetscirkeln" som du fått både av tomast80 och mig. 
3. Förenkla resultatet så långt det går.

Jag kan inte gissa mig med någonting. Jag förstår inte tomast 80 förklaring. 

Päivi skrev :

Jag kan inte gissa mig med någonting. Jag förstår inte tomast 80 förklaring. 

Följ bara steg 1, 2, 3 jag angav i mitt inlägg nyss.

Man kan ersätta med vad som helst bara det blir 120 respektive 240 grader som passar ihop med exakta värden som finns i formell tabellen. 

Du har kommit fram till helt rätt svar Päivi, men man kan se det på flera olika sätt från enhetscirkeln också. Se följande exempelvis

Här kan man se att $\sin(120\textdegree) = \sin(60\textdegree)$, man skulle också kunna se att $\sin(120\textdegree) = \sin(90\textdegree + 30\textdegree) = \cos(30\textdegree)$.

Man kan göra liknande identifiering av vinklarna då man vill beräkna $\sin(240\textdegree)$ och komma fram till det exakta värdet. Då behöver man bara se att $\sin(240\textdegree) = \sin(180\textdegree + 60\textdegree) = -\sin(60\textdegree) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, se om du ser hur man kommer fram till likheten $\sin(180\textdegree + 60\textdegree) = -\sin(60\textdegree)$ genom att titta på enhetscirkeln.

Edit: För att förtydliga, jag menar att det bara är en korrekt beräkning av vad $\sin(120\textdegree)$ är.

Det där är en halvfärdig uträkning. 

Följ bara steg 1, 2, 3.

Steg 1: Använd additionsformeln för att ersätta sin(a+120) och sin(a+240) med andra uttryck som endast består av sin(a), cos(a), sin(120), cos(120), sin(240) och cos(240).

Och så vidare.

Hej P

Päivi, när du löst denna uppgift "the hard way" så kan du nog ge dig på att lösa uppgiften på ett mycket fiffigare sätt, som egentligen inte kräver vare sig enhetscirkeln eller något avancerat trigonometriska samband.

Hej Päivi!

Du kan använda följande trigonometriska samband för att lösa denna uppgift.

  $\displaystyle \sin(u+v) + \sin(u-v) = 2\sin u \cos v$.

Två av dina tre vinklar $a$, $(a+120)$ och $(a+240)$ befinner sig $120$ grader från vinkeln $(a+120)$: om du betecknar $u = a+120$ och $v = 120$ så kan du skriva $a = u-v$ och $a+240 = u+v.$

Det betyder att

    $\displaystyle \sin a + \sin (a+240)$

är samma sak som talet

    $\displaystyle 2\sin u \cos v = 2\sin (a+120) \cos 120 = -\sin(a+120),$

där Enhetscirkeln visar att talet $\cos 120 = -0.5$.

Talet som du vill beräkna är

    $\displaystyle \sin a + \sin (a+120) + \sin(a+240) = \sin(a+120) + \{\sin a + \sin(a+240)\}$

och detta tal är alltså samma sak som talet

    $\displaystyle \sin(a+120) + \{-\sin(a+120)\} = \sin (a+120) - \sin(a+120) = 0.$

Albiki

P.S. Grundidén i mitt inlägg är alltså att skriva summan

    $\displaystyle \sin a + \sin(a+120) + \sin(a+240)$

som

    $\displaystyle \{\sin a + \sin(a+240)\} + \sin(a+120).$

D.S.

Jag ska skriva av det här som du skrev nyss till mig. Jag fick nyligen sms från Finland som störde mig.  

Tack så mycket Albiki för detta. Börjar nog förstå. 

Det var verkligen bra beskrivet. Nu förstår jag det hela.