Cylindriska aluminiumtunnor

mask134 skrev :

Hej jag har suttit och fastnat på den här uppgiften kan någon av er hjälpa mig tack.

 

Ett företag ska tillverka en sorts cylinderformad tunna i aluminium som vardera ska innehålla 3,4 liter vätska. De vill att så många burkar som möjligt ska rymmas i deras lastbil som har ett lastutrymme på 260 (bredd) * 860 (längd) * 180 (höjd) cm. Detta för att slippa köra onödigt många vändor ut till deras lager. 

Tunnorna måste lastas stående så att de inte riskerar att rulla runt och gå sönder. Alla tunnor ska alltså lastas stående i en träram som byggs så att den är anpassad till tunnorna. Det går alltså bra att stapla tunnor ovanpå varandra men de måste stå med botten nedåt i träramen (se bild).
Aluminiumplattorna de använder för tillverkningen kostar mycket pengar så det är även mycket viktigt för företaget att använda sig utav så lite aluminium som möjligt.
Du får själv undersöka och utforma en så realistisk och välanpassad modell som möjligt för att beräkna detta. Det är viktigt att du även motiverar dina antaganden och din slutsats och utvärderar modellen du väljer att använda. 

Jag vill veta matematiska modell.

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Du kan dela upp problemet i två delar:

1. Hur ska de cylindriska tunnorna packas i träramarna så att så många som möjligt får plats?

2. Vilka dimensioner ska en enskild tunna ha för att rymma angiven volym med minst materialåtgång? 

 Hej jag förstår inte riktigt.

mask134 skrev :

 Hej jag förstår inte riktigt.

1. Hur ska de cylindriska tunnorna packas i träramarna så att så många som möjligt får plats?

Du vill få plats med så många tunmor som möjligt i lastbilen. Ett jättedåligt sätt att packa tunnor är att ställa dem glest. Ett bättre sätt är att ställa dem tätt. På vilket sätt ska du packa dem så att det får plats så många som möjligt på en given area?

Rita gärna ett par figurer och visa.

2. Vilka dimensioner ska en enskild tunna ha för att rymma angiven volym med minst materialåtgång? 

Du vill använda så lite material som möjligt för varje tunna. Varje tunna ska rymma 3,4 liter men kan ha olika form, dvs olika radie r och höjd h.

Du vet att eftersom en cylinders volym är $\pi r^2h$ så gäller att $\pi r^2h=3,4$ $dm^3$.

En cylinders begränsningsarea är $A=2\pi r^2+2\pi rh$.

Det gäller för dig att minimera A.

Berätta om dina tankar så är det enklare för oss att hjälpa dig.

Mina tankar kring uppgiften är att jag vet inte på hur man gör matematiska modeller men jag har räknat ut radie och det är  0.245204406dm. Men också att jag måste skriva passande modell för uppgiften och beräkna ut hur många tunnor rymms i lastbilen.

mask134 skrev :

Mina tankar kring uppgiften är att jag vet inte på hur man gör matematiska modeller men jag har räknat ut radie och det är  0.245204406dm. Men också att jag måste skriva passande modell för uppgiften och beräkna ut hur många tunnor rymms i lastbilen.

Jag tror inte att du behöver ta fram en superexakt marematisk modell, jag tror snarare att du ska kunna resonera kring de parametrar som påverkar hur många vändor lastbilen måste köra och hur mycket material som går åt för att tillverka tunnorna.

De två delar jag nämnde är just detta. Förstod du vad jag beskrev inom varje del?

Till exempel:

Del 1. Packningsgrad. Om vi antar att varje tunna har radien r så kan man packa dem ganska tätt på följande sätt: Ställ tunnorna i raka rader som äggen i en äggkartong (eller flaskorna i en gammal 25-back). Men kan man packa dem ännu tätare?

Del 2. Materialåtgång. Varje tunna ska innehålla 3,4 liter, men beroende på flrhållandet mellan tunnans radie och höjd så går det åt olika mycket material.

Exempel:

• Om en tunna har en radie på 0,5 dm så får den en höjd på ungefär 4,3 dm och det går åt ungefär 15 dm^2 material.
• Om en tunna har en radie på 3 dm så får den en höjd på ungefär 0,1 dm och det går åt ungefär 59 dm^2 material.

Det finns alltså ett optimalt förhållande mellan tunnans radie och dess höjd som gör att materialåtgången blir så liten som möjligt.