Behöver hjälp med denna fråga (derivata av sammansatta funktioner)

Utmärkta frågor, låt oss ta dem en och en:

Dani163 skrev:

1. Varför har man lagt till 4x, x-1, och x-2 på sidan av teckentabellen, på vilket sätt hjälper den oss att komma fram till lösningen? Förstår inte sambanden när vi tar med dessa tre termer. 

Vi söker derivatans nollställen, samt vilka tecken den har emellan dessa nollställen. Vår derivata är skriven som produkten $4x(x-2)(x-1)$. Om en av faktorerna är negativa, men de andra positiva, kommer produkten (hela uttrycket) att vara negativt. Om två av faktorerna är negativa, kommer produkten att vara positiv. Om alla tre faktorer är negativa, kommer hela produkten att vara negativ. I vårt teckenschema börjar vi med att undersöka när vardera faktor är positiv, noll, respektive negativ. När vi vet vilka faktorer som är positiva/negativa vid ett visst x-värde, kan vi räkna ut vilket tecken derivatan har.

2. Hur man kommer fram till att f'(x) = 0 vid x = 0, x₂ = 1, och x₃ = 2.

Använd nollproduktmetoden! Noll gånger vad som helst är noll. Om en av faktorerna i derivatan är noll, kommer hela derivatan att vara noll. När är vardera faktor negativ? $4x$? $(x-2)$? $(x-1)$? :)

3. Hur vet man att funktionen för derivatan är positiv vid intervallen 1>x>0 och 2>x, och negativ vid intervallen 0>x samt 2>x>1.

Om vi tittar på respektive intervall mellan nollställena, kan vi multiplicera ihop termernas tecken. För $x<0$ får vi $-\cdot -\cdot -=-$. För $0<x<1$ får vi $+\cdot-\cdot-=+$. Hur blir det för de andra intervallen? :)

Först och främst får jag tacka för er utförliga svar. Det är några saker som jag behöver begripa mig på bättre:

Smutstvätt skrev:

I vårt teckenschema börjar vi med att undersöka när vardera faktor är positiv, noll, respektive negativ. När vi vet vilka faktorer som är positiva/negativa vid ett visst x-värde, kan vi räkna ut vilket tecken derivatan har.

Jag tänker att om en faktor är negativ, vilket tecken har derivatan? Vi har tre faktorer i mitt fall, så när alla tre faktorer är negativt, så har vi en negativ derivata? Så tolkar jag det. Funktionsvärdet är 0 då x = 0 för 4x, vilket gör att hela derivatan = 0, således har vi en lokal minimipunkt. Sen har vi samma faktor, 4x, som är positiv mellan intervallen 1≥x>0 men negativ för båda faktorn x-1 och x-2, detta ger oss ett positivt värde eftersom när man multiplicerar två negativa faktorer blir produkten positiv, och således har vi en positiv derivata? Är detta resonemang rätt?

Det stämmer bra! Då x > 2 är alla tre termer positiva, och derivatan är därför positiv där. 

Liten kommentar om notationen bara: 

1≥x>0

Här ska det vara $1>x>0$. Då $x=1$ är derivatan noll. Tekniskt sett är en funktion både växande och avtagande då derivatan är noll, men det är lättare att helt enkelt hålla isär derivatans nollställen och andra intervall. :)