Behöver hjälp med binomialfördelningen
Hej!
Jag håller på plugga på gamla tentor och har stött på en fråga som jag inte kan tolka facit på:
Frågan lyder:
A coin with probability p of landing on Heads is flipped 15 independent times and the following sequence of Head and Tails is obtained: T, H, H, H, T, H, H, H, H, H, T, T, H, H, H.
(a) Constructalevel 5% test for H0 : p≥0.5 against H1 : p<0.5.What is the result of the test?
Såhär säger lärarens facit:
(a) We model this as a Bin(15,p) experiment where we observe X = 11. Here one might be tempted to use a large sample approximation. But, n = 15 can hardly be considered large, and we can perform the test exactly. However, if one uses a large sample approximation, the test-statistic should be compared to the Normal distribution, not the t-distribution.
The test statistic will be X and the rejection region of the form X ≤ k, for some k. Under the assumption that p = 0.5, we have that :
P(X ≤ 2) = 0.018, P(X ≤ 3) = 0.0592.
Therefore a 5%-level test is given by X ≤ 2. We therefore do not reject H0 on the 5%-level.
Jag fattar verkligen inte vad X=11 har med saken att göra och sen plötsligt P(X ≤ 2),P(X ≤ 3). Var får läraren de siffrorna ifrån för att kunna lösa frågan? Hittar han bara på dem för att ge ett exempel? När jag själv försöker räkna X~Bi(15, 0.5) P(X ≤ 2) får jag: P(X ≤ 2)=0.00369
Det blev "heads" 11 gånger.
Laguna skrev:Det blev "heads" 11 gånger.
Tack! Det tänkte jag inte på.
Men vidare förstår jag inte hur han kommer fram till P(X ≤ 2) = 0.018 och P(X ≤ 3) = 0.0592. Förstår du varför han använder P(X ≤ 2) och P(X ≤ 3)?
Nollhypotesen H0 är att sannolikheten för klave (H) är 0.5 eller högre. Mothypotesen H1 säger således att sannolikheten för H är <0.5—dvs att myntet har en tendens att resultera i krona (T) snarare än i klave.
Han kollar för vilka värden på X vi har ett p-värde < 0.05 (det femprocentiga testet). Han finner att 0.05 ligger mellan P(X ≤ 2) och P(X ≤ 3), vilket betyder att vi skulle ha behövt få max 2 av 15 H för att kunna förskjuta nollhypotesen. Men vi hade elva H (X=11) så vi kan inte förskjuta den.
Dock håller jag med dig om att P(X ≤ 2)=0.00369. Däremot har vi P(X ≤ 3) = 0.018 och P(X ≤ 4) = 0.0592, så jag antar att läraren bara råkat skriva 2 och 3 istället för 3 och 4.
