Behöver hjälp med att visa |sin u - sin v| <_ |u -v|

Det är alltså fråga 2.42 det handlar om och de andra frågorna är bara där som referens.

Första delen av 2.40 klarade jag av genom att använda räknereglerna för sin(u+v) och sin(u-v), den andra delen i 2.40 genom att sätta u+v = A och u-v = B och sen lösa ut u och v i ett ekvationssystem.

Jag förstår också innebörden av olikheten som nämns i 2.42 om man tänker sig enhetscirkeln, men jag vet ej hur jag ska bevisa den! Hjälp skulle uppskattas.

Hej,

Du vet att $\sin u-\sin v = 2\cdot \cos \frac{u+v}{2}\cdot\sin \frac{u-v}{2}$ varför

$|\sin u-\sin v| = 2\cdot |\cos\frac{u+v}{2}|\cdot |\sin\frac{u-v}{2}|.$

Sedan vet du att $|\cos\frac{u+v}{2}|\leq 1$ och att $|\sin\frac{u-v}{2}|\leq |\frac{u-v}{2}|$ vilket ger dig den sökta olikheten.

$\displaystyle\left|\sin u-\sin v\right| \leq 2 \cdot \frac{\left|u-v\right|}{2} = \left|u-v\right|.$

En snabbare väg mot olikheten går via Lagranges medelvärdessats tillämpad på funktionen $f(x)=\sin x.$

$f(u)-f(v) = f^\prime(c) \cdot (u-v)$

där $c$ är ett tal som ligger någonstans mellan $u$ och $v$ .

Här är derivatan $f^\prime(c) = \cos c$ varför absolutbeloppet blir

Svara