Beräkning av gränsvärde

Nu har jag inte testat, men går det kanske skriva ihop nämnaren som ett enda bråk?

hmm, hur menar du?

Man kan börja med att skriva om som

$\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sin \left(5x\right)}}-{\displaystyle \frac{1}{\tan \left(5x\right)}}}{x}=\frac{{\displaystyle \frac{1-\mathrm{co}s\left(5x\right)}{\sin \left(5x\right)}}}{x}=\frac{1-\cos \left(5x\right)}{x\sin \left(5x\right)}$.

Ja juste, helt rätt. Hur fortsätter jag sedan då?

Ja, det är ju lite trixigt om man inte ser det direkt. Det står att man skall utnyttja gränsvärdet sin(x)/x -> 1 då x -> 0. Så man kan notera att 1 - cos(5x) = 2sin²(5x/2).

hmm, förlåt men hänger inte riktigt med

Var det trigformeln eller hur du skall gå vidare som var problemet, eller båda två?

Det med hur jag ska gå vidare

Vi har således

$\frac{2{\sin }^2\left(5x/2\right)}{x\sin \left(5x\right)}$ = $2·\frac{{\sin }^2\left(5x/2\right)}{x^2}·\frac{1}{\frac{\sin \left(5x\right)}{x}}$.

Kommer du vidare?

ska man multiplicera med något mer? Efter det ska jag väl ba stoppa in istället för x?

Nja, nu skall vi utnyttja att vi vet att sin(x)/x går mot 1 då x går mot noll.

Men i vår formel har vi uttryck på formen sin(ax)/x. Vad blir sin(ax)/x då x går mot noll?

hmm 1? eller nej

Nej, inte riktigt så enkelt.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(ax\right)}{x}$ = $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a\sin \left(ax\right)}{ax}$ = (sätt ax = t) = $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{a\sin t}{t}$ = $a\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}$ = $a·1 = a$.

Nu borde du kunna räkna ut gränsvärdet.

Perfekt, löste den. Taack för hjälpen!