Olikhet med absolutbelopp

Sara Ha skrev:

Visa att |x+2|-|x|≤2 för alla reella värden på x

Jag har gjort ett försök, men det var helt fel och fått F på den här uppgiften.
|x+2|-|x|≤2

x+2=0 då x=-2

x=0
då x+2-x=2 och det är<2

 

Min lärare gav mig en exempel på lösning som är:

Dela up i tre fall 

undersök alla tre fallen om x<-2 , om -2≤x≤0 och om 0

Kan ni förklara hur måste man svara på den noggrant?

mitt tips är att du tar din kursbok och läser upp lite på absolutbelopp och säger ifrån om det är något du inte förstår

?

Randyyy skrev:

Sara Ha skrev:

Visa att |x+2|-|x|≤2 för alla reella värden på x

Jag har gjort ett försök, men det var helt fel och fått F på den här uppgiften.
|x+2|-|x|≤2

x+2=0 då x=-2

x=0
då x+2-x=2 och det är<2

 

Min lärare gav mig en exempel på lösning som är:

Dela up i tre fall 

undersök alla tre fallen om x<-2 , om -2≤x≤0 och om 0

Kan ni förklara hur måste man svara på den noggrant?

mitt tips är att du tar din kursbok och läser upp lite på absolutbelopp och säger ifrån om det är något du inte förstår

Jag skulle inte lägga min fråga här, om jag har inte läst allt för att kunna förstå och lösa liknande frågor. Jag känner mig idiot pga. den här uppgiften!
Jag vill bara att man förklara lite omkring sådana uppgifter. 
"Plugg Akuten" är för att hjälpa varandra!

Vad gör ett absolutbeloppstecken med ett tal? Du ska undersöka om olikheten gäller för alla reella tal.

Det du rent praktiskt då ska göra är att undersöka olika intervall vilka gör det möjligt för dig att ta bort absolutbeloppstecknen. Det är nämligen enklare att exempelvis analysera om x + 2 - x ≤ 2 stämmer.

Exempel på hur absolutbelopp fungerar:

|x-3| = x-3 om x≥3 men |x-3|=-(x-3) om x<3

Varför blir det så?

Bevis är ett knepigt avsnitt och absolutbelopp kan vara luriga. Tillsammans "livsfarliga"

Det var att överdriva litet, men jag förstår din känsla att känna dig som en "idiot"
Plötsligt efter matte 3c när man känner sig som en mästare blir man helt nertagen av dessa bevis. I alla fall var det så för mig.

Din lärare gav dig ett bra tips.
Jag provade mig fram lite och testade några exempel där x var större än noll. Provade med några exempel där x var mindre än noll. Provade när x var noll.
Då växte det fram något som jag kände kanske kunde fungera.

Sara Ha skrev:

Visa att |x+2|-|x|≤2 för alla reella värden på x

Jag har gjort ett försök, men det var helt fel och fått F på den här uppgiften.
|x+2|-|x|≤2

x+2=0 då x=-2

x=0
då x+2-x=2 och det är<2

 

Min lärare gav mig en exempel på lösning som är:

Dela up i tre fall 

undersök alla tre fallen om x<-2 , om -2≤x≤0 och om 0

Kan ni förklara hur måste man svara på den noggrant?

Välkommen till Pluggakuten!

Eftersom du är ny på Pluggakuten förutsätter jag att du har läst igenom Pluggakutens regler - det ingår i processen när man skapar ett konto att man kryssar i att man har läst och accepterat reglerna. Där står det bl a att rubriken skall berätta vad uppgiften handlar om (det gör inte rubriken "Behöver hjälp!") och att man skall undvika ordet "hjälp"i rubriken - jag fixar en bättre rubrik åt dig. Det står också att du skall visa hur du har försökt och hur långt du har kommit. /moderator

Din lärar gav dig ett bra råd. Vid vilka två x-värden byter VL respektive HL tecken?

Jag tycker att det enklaste sättet är att rita upp både VL och HL och se när VL ligger under HL. Vet du hur du skall göra detta?

En allmän tumregel när man ska bevisa något är att det inte räcker att ge ett par exempel på när det är sant.

Sara Ha skrev:

...

Kan ni förklara hur måste man svara på den noggrant?

Det går att göra på lite olika sätt.

Ett sätt är att lösa olikheten grafiskt som Smaragdalena tipsar om.

Då skulle jag först skriva om den så här:

$|x+2| \leq2+|x|$

Sedan skulle jag rita grafen till $|x+2|$ och grafen till $2+|x|$ i samma koordinatsystem och se var olikheten gäller. Kan du läsa ut svaret av följande bild?

Hej Sara Ha,

Olikheten du vill visa kallas Triangelolikheten och kan skrivas 

    $|x+2| \leq |x|+|2|$.

Generellt ser den ut såhär: $|x+y| \leq |x| + |y|$, där $x$ och $y$ är reella tal; i ditt fall är $y=2$.

Ett annat sätt är att lösa olikheten algebraiskt.

Jag skulle då hitta de "brytpunkter" vid vilka termerna med absolutbelopp är lika med 0:

Dessa brytpunkter är $x=-2$ och $x=0$.

Sedan skulle jag dela upp alla möjliga värden på $x$ i tre intervall, där brytpunkterna utgör intervallgränser.

Intervallen blir då $x<-2$, $-2\leq x<0$ och $x\geq0$.

Skälet till att dela upp i intervall är att vi då inom respektive intervall kan skriva om olikheten utan absolutbeloppptecken, vilket ger betydligt enklare delproblem att lösa:

1. Då $x<-2$ så är $|x+2|=-(x+2)$ och $|x|=-x$, varför olikheten kan skrivas $-(x+2)-(-x)\leq2$, dvs $-2\leq2$. Det villkoret är uppfyllt för alla värden på $x$ i detta intervall.
2. Då $-2\leq x<0$ så är $|x+2|=x+2$ och $|x|=-x$, varför olikheten kan skrivas $(x+2)-(-x)\leq2$, dvs $2x\leq0$. Det villkoret är uppfyllt för alla värden på $x$ i detta intervall (eftersom $x<0$ här).
3. Då $x\geq0$ så är $|x+2|=x+2$ och $|x|=x$, varför olikheten kan skrivas $(x+2)-x\leq2$, dvs $2\leq2$. Det villkoret är uppfyllt för alla värden på $x$ i detta intervall.

Alltså är olikheten uppfylld för alla möjliga värden på $x$.

ConnyN skrev:

Bevis är ett knepigt avsnitt och absolutbelopp kan vara luriga. Tillsammans "livsfarliga"

Det var att överdriva litet, men jag förstår din känsla att känna dig som en "idiot"
Plötsligt efter matte 3c när man känner sig som en mästare blir man helt nertagen av dessa bevis. I alla fall var det så för mig.

Din lärare gav dig ett bra tips.
Jag provade mig fram lite och testade några exempel där x var större än noll. Provade med några exempel där x var mindre än noll. Provade när x var noll.
Då växte det fram något som jag kände kanske kunde fungera.

Problemet är att jag har läst Matte 3b, inte 3c. 
Tack för tipsen. 

Albiki skrev:

Hej Sara Ha,

Olikheten du vill visa kallas Triangelolikheten och kan skrivas 

    $|x+2| \leq |x|+|2|$.

Generellt ser den ut såhär: $|x+y| \leq |x| + |y|$, där $x$ och $y$ är reella tal; i ditt fall är $y=2$.

Tack så mycket!

Yngve skrev:

Ett annat sätt är att lösa olikheten algebraiskt.

Jag skulle då hitta de "brytpunkter" vid vilka termerna med absolutbelopp är lika med 0:

Dessa brytpunkter är $x=-2$ och $x=0$.

Sedan skulle jag dela upp alla möjliga värden på $x$ i tre intervall, där brytpunkterna utgör intervallgränser.

Intervallen blir då $x<-2$, $-2\leq x<0$ och $x\geq0$.

Skälet till att dela upp i intervall är att vi då inom respektive intervall kan skriva om olikheten utan absolutbeloppptecken, vilket ger betydligt enklare delproblem att lösa:

1. Då $x<-2$ så är $|x+2|=-(x+2)$ och $|x|=-x$, varför olikheten kan skrivas $-(x+2)-(-x)\leq2$, dvs $-2\leq2$. Det villkoret är uppfyllt för alla värden på $x$ i detta intervall.
2. Då $-2\leq x<0$ så är $|x+2|=x+2$ och $|x|=-x$, varför olikheten kan skrivas $(x+2)-(-x)\leq2$, dvs $2x\leq0$. Det villkoret är uppfyllt för alla värden på $x$ i detta intervall (eftersom $x<0$ här).
3. Då $x\geq0$ så är $|x+2|=x+2$ och $|x|=x$, varför olikheten kan skrivas $(x+2)-x\leq2$, dvs $2\leq2$. Det villkoret är uppfyllt för alla värden på $x$ i detta intervall.

Alltså är olikheten uppfylld för alla möjliga värden på $x$.

Då har förstått jag, tack så mycket.