Behöver endast ett litet tips för att påbörja. (Matematik/Matte 2/Logik och geometri)

En möjlig start kan väl vara att dela triangeln i två delar.

Därefter kan du dra bisektriser för ena halvan av triangeln.

Då har du mittpunkten på en av cirklarna.

Därifrån kan du göra olika uträkningar.

Hoppas du kan komma igång med hjälp av det?

Tack för ditt svar ConnyN. Jag följer din metod men när jag delar upp triangeln i två så undrar jag bara om det är 3 bisektriser som jag ska rita in? Alltså en bisektris från varje hörn i triangeln och på så sätt få ut mittpunkten i cirkeln?

Om du gör som jag tänker så har du två rätvinkliga trianglar efter delningen med en cirkel i vardera.

Då kan du genom att använda två eller tre bisektriser hitta mittpunkten i en av cirklarna.

För att underlätta fortsättningen är ett tips att du inför ett koordinatsystem och sätter origo i en lämplig punkt.

Jag har försökt med Phytagoras Sats ConnyN. Jag fick radien till 4 cm. Känner mig lite tveksam om det är en lämplig radie? Jag har inget facit så ifall du i förväg vet om radien är 4 cm så kanske jag funnit lösning för cirkelns radie. Jag ska prova med koordinatsystem. Jag la även mitt origo i cirkelns mittpunkt och ska försöka hitta ett slags samband.

Nä, radien är 8 cm? 😮😮😮😃😃😃

Nej det stämmer inte.

Tips:

Ta fram ekvationer för bisektriserna med hjälp av koordinatsystemet. Det räcker med två bisektriser.

Du behöver veta lutningen dvs. värdet på k och du behöver veta var den skär y-axeln dvs. värdet på m.

Om du väljer origo i en bra punkt så får du lutning 45 grader, som ger k=1 och m=0 på en av bisektriserna.

Sedan behöver du lite grundkunskaper i trigonometri så kan du få lite användning av det också.

Rita en bild med bisektriser och de cirkelradier som är vinkelräta mot en triangelsida.

Denna bild kan kanske hjälpa en aning:

För att följa ConnyN:s metod så har jag ritat 3 bisektriser, en från varje hörn. Jag har ritat in ett koordinatsystem och la mitt origo i cirkelns mittpunkt. Jag postar bilden och hoppas att du kan förklara ifall bilden är rätt ritad eller fel... Jag ska kika på din metod nu också Ebola! 😊

Min triangel liknar mer Ebolas och för att ta en sak i taget kanske vi ska lyssna på hans tankegång först?

Bilden som jag postade: Är det inget o ha? Kan man inte fortsätta ifrån den bilden som jag postade?

Natascha skrev:
Bilden som jag postade: Är det inget o ha? Kan man inte fortsätta ifrån den bilden som jag postade?

Det blir så konstigt om man inte ritar något så när skalenligt.

Då slänger jag det. Jag försökte utföra Phytagoras Sats på Ebolas bild men det verkar inte vara en framgångsrik metod i detta problem. Jag känner lite att jag inte vet hur jag ska ta mig vidare... Just nu står allt helt stilla! 😞

ConnyN skrev:
Natascha skrev:
Bilden som jag postade: Är det inget o ha? Kan man inte fortsätta ifrån den bilden som jag postade?
Det blir så konstigt om man inte ritar något så när skalenligt.

Skalenlighet är inte så viktig när vi ska hitta formler.

Kan jag ha kvar denna bild?

Jag undrar i så fall: Hur kan jag utifrån bilden nedan komma framåt? Jag har ritat tre bisektriser, en från vardera hörn och även ritat in ett koordinatsystem. Jag la mitt origo i cirkelns mittpunkt. Hur går jag vidare härifrån? Vad är nästa lilla steg? Jag vill gärna utgå från bilden nedan för att det är på det sättet jag lär mig allra bäst. Givetvis får andra bilder/ritningar postas här. 👱🏻‍♀️

Du gör det verkligen svårt för dig när du placerar origo i cirkelns mitt - då vet du ju inte4 koordinaterna för någon annan punkt. Jag skulle placera origo i hörnet nere till vänster, för då känner jag till koordinaterna för samtliga triangelhörn.

Tack för tipset Smaragdalena. Jag ska rita en ny bild och placera mitt origo på den plats som du angav. Jag måste även påpeka att jag hade lite svårt att veta vart jag ska placera mitt origo. Jag ska däremot testa det nu och så återkommer jag ifall det uppstår fler frågetecken! 👱🏻‍♀️

Natascha skrev:
Kan jag ha kvar denna bild?
Hur kan jag utifrån bilden nedan komma framåt?

Min bild finns naturligtvis inuti din bild. Allt handlar om att designera rätt, använda pythagoras, trigonometri och sedan är uppgiften löst. Se nedan:

Den stora vinkeln 2a kan du bestämma eftersom du har sidorna på den stora triangeln. Sedan är det bara att analysera följande triangel markerad i grått för att bestämma radien:

Men det som Smaragdalena nämnde om att byta plats på mitt origo.. Jag har ritat en ny bild och placerat mitt origo i det vänstra hörnet. Nu har jag även samtliga koordinater för triangelns hörn. Jag kommer inte riktigt på vad jag ska göra härnäst? 😞 Hur kan koordinaterna för triangelns hörn hjälpa mig att få fram radien för cirkeln? 👱🏻‍♀️

Det Conny föreslog var att du ska ta fram ekvationer för dina bisektriser på formen y = kx + m. När du gjort detta kommer det inte vara svårare än att bestämma radien från deras skärningspunkt.

Bestäm ekvationen för B2 och B3!

"Får" du använda trigonometeriska funktioner för att lösa din uppgift? Om jag skulle lösa den här uppgiften skulle jag utnyttja att riktningskoefficienten för en linje är lika med tangens för linjens vinkel mot positiva x-axeln.

Om det är så att du vill lösa den här uppgiften utan tangens måste jag funderar ut ett annat sätt.

Tack för att du hjälper mig Ebola!! Du är så snäll! Jag blir bara lite kluven över hur jag ska bestämma dem.. Jag behöver två punkter att ta fram en funktion för räta linjen. Jag tänker däremot om jag kan ta koordinaterna för B2 och B3 i och med att dem skär varandra? Kan jag det? 👱🏻‍♀️

Smaragdalena skrev:
"Får" du använda trigonometeriska funktioner för att lösa din uppgift? Om jag skulle lösa den här uppgiften skulle jag utnyttja att riktningskoefficienten för en linje är lika med tangens för linjens vinkel mot positiva x-axeln.
Om det är så att du vill lösa den här uppgiften utan tangens måste jag funderar ut ett annat sätt.

Egentligen var det ej tänkt att använda trigonometri gällande denna uppgift Smaragdalena! När jag börjar Ma3 till Hösten så kan jag använda trigonometri men nu ska jag lösa den med metoder som vi lärt oss under Ma2c.

Natascha skrev:
Tack för att du hjälper mig Ebola!! Du är så snäll! Jag blir bara lite kluven över hur jag ska bestämma dem.. Jag behöver två punkter att ta fram en funktion för räta linjen. Jag tänker däremot om jag kan ta koordinaterna för B2 och B3 i och med att dem skär varandra? Kan jag det? 👱🏻‍♀️

Nu tycker jag så klart att mitt förslag är bättre så det är lite svårt för mig att argumentera för och förklara någon annans metod.

Jag kan ta mig an din metod också Ebola men ifall det krävs trigonometriska uträkningar så kommer jag inte särskilt långt eftersom uppgiften skulle lösas efter de metoder som vi lär oss i Ma2. Givetvis kan man lösa den med hjälp av trigonometri också men meningen är att jag ska klara av uppgiften med hjälp av de metoder som finns i Ma2.

Natascha skrev:
Egentligen var det ej tänkt att använda trigonometri gällande denna uppgift Smaragdalena! När jag börjar Ma3 till Hösten så kan jag använda trigonometri men nu ska jag lösa den med metoder som vi lärt oss under Ma2c.

Du lärde väl dig grundläggande trigonometri i Ma 1?

Ja det gjorde vi. Jag kan lite trigonometri från Ma1. Jag vill däremot helst lösa den utan trigonometriska operatörer ifall det är möjligt. Koordinatsystemet verkar vara en väg. I och med att uppgiften står i Ma2-avdelningen så känner jag lite att trigonometri inte är mitt prio 1 men vi kan prova! Jag ska försöka! 👱🏻‍♀️

Värdet på vinkeln(a) är 22,5 grader. Då har den gråa triangeln vinklarna: 22,5 grader, 90 grader och 67,5 grader.

Natascha skrev:
Värdet på vinkeln(a) är 22,5 grader. Då har den gråa triangeln vinklarna: 22,5 grader, 90 grader och 67,5 grader.

Nej, om du menar halva vinkeln som är motsatt till den sida som har längden 8 så är den definitivt inte 22,5^o - jag får det till drygt 7 14^o (med trigonometri). Hur fick du fram det värdet?

Varifrån kommer uppgiften?

Från en helt annan infallsvinkel kan vi utnyttja att vi vet allt om triangeln.
Dess area kan t ex skrivas som 8·15/2 =60.

Men här kan den också skrivas som den sammanlagda arean för de tre trianglar som möts i cirkelns medelpunkt och som alla har höjden r (cirkeln radie) mot var sin sida av den stora triangeln som bas. Den arean kan skrivas:
8·r/2 + 15·r/2 + 17·r/2 = (8 + 15 + 17)·r/2 = 40·r/2 = 20·r
och även den måste därför vara lika med 60, så vi får r = 3.

Samtidigt har vi härlett en formel för den inskrivna cirkelns radie i en godtycklig triangel, r = 2A/p , där A är triangelns area och p (perimeter) dess omkrets. Se figuren i denna inspirerande källa: https://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-radius-of-incircle

Arktos skrev:
Från en helt annan infallsvinkel kan vi utnyttja att vi vet allt om triangeln.
Dess area kan t ex skrivas som 8·15/2 =60.
Men här kan den också skrivas som den sammanlagda arean för de tre trianglar som möts i cirkelns medelpunkt och som alla har höjden r (cirkeln radie) mot var sin sida av den stora triangeln som bas. Den arean kan skrivas:
8·r/2 + 15·r/2 + 17·r/2 = (8 + 15 + 17)·r/2 = 40·r/2 = 20·r
som även den måste vara lika med 60, så vi får r = 3.
Samtidigt har vi härlett en formel för den inskrivna cirkelns radie i en godtycklig triangel, r = 2A/p , där A är triangelns area och p (perimeter) dess omkrets. Se figuren i denna inspirerande källa: https://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-radius-of-incircle

Väldigt bra där! Mycket riktigt är area en bra metod.

Natascha skrev:
Värdet på vinkeln(a) är 22,5 grader. Då har den gråa triangeln vinklarna: 22,5 grader, 90 grader och 67,5 grader.

$a = \frac{\tan^{- 1} (\frac{8}{15})}{2} \approx 14 °$

Smaragdalena skrev:
Natascha skrev:
Värdet på vinkeln(a) är 22,5 grader. Då har den gråa triangeln vinklarna: 22,5 grader, 90 grader och 67,5 grader.
Nej, om du menar halva vinkeln som är motsatt till den sida som har längden 8 så är den definitivt inte 22,5^o - jag får det till drygt 7 14^o (med trigonometri). Hur fick du fram det värdet?
Varifrån kommer uppgiften?

Ahaa! Jag visste inte att jag skulle ta fram den okända vinkeln med trigonometri... Jag utgick efter någon helt annan triangel i bilden. Vi bortser från det jag fick fram... Jag ser också att det är fel! 🤦‍♀️

Men kan vi inte utgå från denna bild:

Jag skulle vilja veta HUR jag ska ta fram en ekvation av bisektriserna som följer: y = kx + m. Hur kan jag ta fram ekvationen för ex: B3 om jag bara har en känd punkt gällande just B3?

Natascha skrev:
Men kan vi inte utgå från denna bild:
Jag skulle vilja veta HUR jag ska ta fram en ekvation av bisektriserna som följer: y = kx + m. Hur kan jag ta fram ekvationen för ex: B3 om jag bara har en känd punkt gällande just B3?

Utan trigonometri kan inte jag hitta något sätt överhuvudtaget. Du kan däremot använda areametoden som Arktos skrev här.

Jag ska i alla fall försöka förstå metoden som Arktos nämnde. Men Smaragdalena tipsade mig om att jag kunde förflytta mitt origo till triangelns vänstra hörn och därav fick jag ut samtliga koordinater för triangelns hörn. Smaragdalena kanske vet hur jag kan få fram en funktion som skrivs efter: y=kx+m om jag bara känner igen EN punkt för varje bisektris. Jag bojkottar absolut inte era tips och härledningar. Allt det antecknar jag! Jag vill däremot förstå hur jag kan ta fram funktioner givet att jag bara har en känd punkt per bisektris...

Jag skulle utnyttja att riktningskoefficienten för den räta linjen är tangens för vinkeln.

Här är ett sätt att lösa uppgiften utan varken koordinatgeometri eller trigonometri (dock är det inte lika elegant som Arktos metod!):

Om vi betraktar halva triangeln och drar vinkelräta linjen från vardera av triangelns kanter till cirkelns medelpunkter uppstår det två par av kongruenta trianglar (det är enkelt att visa med Pythagoras sats eftersom trianglarna är rätvinkliga och två sidor är lika i båda fallen). Börjar man med triangeln som bildas i nedre högra hörnet inser man att dess vågräta katet har längden $8-r$ . Detta ger att avsnittet som ligger på den stora triangelns hypotenusa också har längden $8-r$ . Eftersom hypotenusans totala längd är $17$ är längden på det andra segmentet därför $17-(8-r)=9+r$ .

Vi får nu genom kongruensen att det övre segmentet på den lodräta kateten i den stora triangeln har längden $9+r$ . Den sammanlagda längden på den lodräta kateten blir därför $r+9+r=2r+9$ . Pythagoras sats i den stora triangeln ger därefter:

$(2r+9)^2+8^2=17^2$

ur vilket det inte är så svårt att lösa ut att $r=3$ .

Det vore synd att inte använda din fina uppgift som innehåller så mycket till att repetera dina tidigare kunskaper som du så väl kommer att behöva i matte 3.

Om vi tar delarna för sig:

1) Du har en geometrisk figur som du kan dela upp i två delar för att förenkla beräkningarna.
Om du ritar något så när skalenligt så kommer vissa saker att framstå som först inte är så tydliga.
Till exempel så ser du då att radien kommer att vara i närheten av 3.
Där får man se upp så att man inte tar något för givet. Ibland kan det se ut att vara ett heltal, men är istället bara väldigt nära ett heltal.

2) Med hjälp av bisektrissatsen kan vi räkna ut var bisektrisen från vinkel C korsar y-axeln om vi bestämmer att y-axeln är den linje som delar den stora triangeln i två delar.

3) Sätter vi Origo längst ned på y-axeln så kan vi för det första se att bisektrisen som går från Origo måste vara 45 grader och k = 1 samt m = 0 dvs. y = x
Den andra bisektrisen lutar nedåt och alltså är k negativ och m räknar vi ut med hjälp av det jag skrev i punkt 2.

4) Vi kan nu sätta ihop ekvationen för den andra bisektrisen också och de två ekvationerna sätts ihop och vi får fram i vilken punkt de skär varandra.
y-värdet är detsamma som radien.

Hej.

Tack för alla värdefulla tips och möjliga sätt som löser denna uppgift. När jag läser kommentarerna så inser jag också att radien är 3. Jag vill däremot själv räkna ut det och jag har ett sätt som jag fastnat för och vill så gärna bara klara av att räkna ut det genom koordinatgeometri.

Jag sitter och försöker just nu och det jag gör är att försöka skriva en ekvation för varje bisektris. Jag ser att du ConnyN får fram att för bisektrisen som går genom P(0,0) har lutningen 45 grader och har k-värdet: 1. Hur ser du det? Jag förstår inte hur du kom fram till att k-värdet är 1 och att bisektrisen har lutningen 45 grader.

Jag gjorde såhär: Jag tog fram samtliga trigonometriska definitioner och i mitt fall känner jag igen längden på triangelns samtliga sidor. Därav använder jag antingen: cos(v), tan(v) respektive sin(v) beroende på vinkel det handlar om. När jag, med hjälp av en trigonometrisk definition får ut en vinkel så tar jag den vinkeln och dividerar på 2 eftersom bisektrisen delar en vinkel i två lika stora vinklar. När jag delar min kända vinkel på 2 så är väl det också k-värdet för bisektrisen. Stämmer detta?

Du har en 90 graders vinkel som delas mitt itu av bisektrisen. Det ger 45 grader.
k= 1 när en enhet på x-axeln ger en enhet på y-axeln eller hur?

Trigonometrin borde bli rätt som du beskriver, men k-värdet får du fram genom formeln $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

eller om du har en linje och vet x, y och m. Då kan du lösa ut k därifrån.

ConnyN skrev:
Du har en 90 graders vinkel som delas mitt itu av bisektrisen. Det ger 45 grader.
k= 1 när en enhet på x-axeln ger en enhet på y-axeln eller hur?
Trigonometrin borde bli rätt som du beskriver, men k-värdet får du fram genom formeln $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
eller om du har en linje och vet x, y och m. Då kan du lösa ut k därifrån.

Är det bisektris 3 som du pratar om nu ConnyN? Så inte vi blandar ihop det.

Jag tänker såhär: För att ta fram vinkeln på exempelvis bisektris 3 så tänker jag att en av de trigonometriska definitionerna hjälper mig här. För att ta fram vinkeln där bisektris 3 startar så får jag: $\cos (\frac{15}{17}) = 0, 9998814 . . . \approx 1$ Är detta min riktningskoefficient?

Du har bara en vinkel som är 90 grader. I din figur tror jag att det är där bisektris 2 utgår ifrån.

Delar man den mitt itu så blir det 45 grader och där kan du inte använda t.ex. cosinus eller sinus för att få veta ett k-värde.

tangens 45 grader är däremot lika med 1 om det är något sådant du kommer ihåg kanske?

Jo precis. Bisektris 2 utgår från vinkeln 90 grader och när den delas mitt itu så blir den 45 grader. När jag använder den trigonometriska operatören tan(v) och ersätter v med 45 så får jag ut riktningskoefficienten 1 för bisektris 2. För att lösa ut m-värdet också så får jag ersätta x och y med P(8,0) i y = 1x + m. Det ger: 0 = 1(8) + m där m = -8. Då blir ekvationen: y = x - 8.

Det låter lite konstigt med m-värdet då genom avläsning verkar som att det ska skära genom positiva y-värden, men det är den ekvationen jag får ihop för bisektris 2. Är det rätt? 👱🏻‍♀️

Mmmm jag är lite tveksam till att ta ut k med hjälp av tangens. Då ska man nog vara väldigt tvärsäker på vad man gör.
Som jag tänker så är k ett uttryck för hur linjen lutar. I det här fallet var det lätt att se att vid ökning av x med 1 så ökade y med 1 och då är k = 1. Om x ökar med 1 och y då ökar med 2 så är k = 2. Om x ökar med 2, men y bara med 1 så är k = 1/2. Det förstår man om man tittar på bilden då linjen lutar med exakt 45 grader, men som sagt det är inte utseendet i bilden som avgör. Där kan man bli lurad det kan vara 44,9996 eller 45,0024 t.ex. men just i det här fallet visste vi att det var 45 grader exakt.

Sedan gjorde du en liten tankevurpa när du räknade ut m. Det är lätt gjort innan begreppen sitter så ta inte det så hårt. Du valde en punkt (8,0) men den finns inte på linjen om du tänker efter. Däremot kan du välja (0,0) eller (3,3) eller någon annan punkt som du vet att den finns på linjen, men åter en gång figuren är bara en vägledning. Väljer du en punkt med exakta värden så måste du ha någon beräkning eller tanke bakom som stöder den.

Varför tjatar jag om det hela tiden? Jo för att en figur är så otroligt viktig för mig när jag försöker förstå, men jag måste vara vaksam på mig själv för att inte ta något för givet. För någon annan människa kan det säkert kännas på ett helt annat sätt.

Edit: Jag glömde att du ser på figuren tvärtemot vad jag tänker. Det går också och då har du punkten (8,0) på din linje, men den lutar nedåt och då blir k = -1 . Vilket förstärker min misstanke att det blir svårt att använda tangens vid beräkning av k om man som sagt inte ligger på en betydligt högre nivå och är van att handskas med den.

Definitionen för k-värdet i rätalinjens ekvation är $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Definitionen av tan(v) är $\tan(v)=\frac{\sin(v)}{\cos(v)}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , så du kan lita på att tangens ger dig k-värdet (men egentligen lär man sig inte detta förrän i Ma4, eftersom man inte har gått igenom k-värde ordentligt när man lär sig tangens i Ma1c).

Smaragdalena skrev:
Definitionen för k-värdet i rätalinjens ekvation är $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Definitionen av tan(v) är $\tan(v)=\frac{\sin(v)}{\cos(v)}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , så du kan lita på att tangens ger dig k-värdet (men egentligen lär man sig inte detta förrän i Ma4, eftersom man inte har gått igenom k-värde ordentligt när man lär sig tangens i Ma1c).

Oj, detta hade jag ingen aning om Smaragdalena. Detta är lite bortom den nivå som jag behärskar. Då kanske jag ska utesluta att försöka lösa uppgiften med hjälp av koordinatsystem eftersom det kräver lite mer avancerad trigonometrisk lära. Om vi säger såhär, ifall denna uppgift hade kommit på ett Ma2c-prov, vilken är den lämpligaste metoden att använda sig utav för att lösa ut radien. Trigonometri kan det inte vara eftersom i Ma2 ingår inte trigonometri. Vad är den lämpligaste metoden och då ska jag försöka lösa den själv. 👱🏻‍♀️

Riktningskoefficienten för bisektrisen i den räta linjen behöver du ingen trigonometri till, precis som Conny skrev om.

Men jag förstår verkligen INTE hur ni ser vad lutningen blir för bisektris1, bisektris2 och bisektris3. Jag kan verkligen ej se det! Förlåt för att jag verkligen drar ut på det här men samtidigt blir jag främst så ledsen att jag ej förstår efter 48-49 kommentarer HUR jag ska gå tillväga för att få fram lutningen för samtliga bisektriser. Jag förstod inte ConnyN:s senaste kommentar om hur x respektive y ökar med 1... Hur ser ni detta i figuren? Likaså trodde jag att punkten: (8,0) var en av punkterna på bisektrisen men den punkten finns inte där... Jag förstår verkligen inte detta men samtidigt har jag löst liknande uppgifter massor av gånger utan någon som helst trigonometri... 🤦‍♀️

Natascha skrev:
Men jag förstår verkligen INTE hur ni ser vad lutningen blir för bisektris1, bisektris2 och bisektris3. Jag kan verkligen ej se det! Förlåt för att jag verkligen drar ut på det här men samtidigt blir jag främst så ledsen att jag ej förstår efter 48-49 kommentarer HUR jag ska gå tillväga för att få fram lutningen för samtliga bisektriser. Jag förstod inte ConnyN:s senaste kommentar om hur x respektive y ökar med 1... Hur ser ni detta i figuren? Likaså trodde jag att punkten: (8,0) var en av punkterna på bisektrisen men den punkten finns inte där... Jag förstår verkligen inte detta men samtidigt har jag löst liknande uppgifter massor av gånger utan någon som helst trigonometri... 🤦‍♀️

Själv tycker jag ni krånglar till det något fruktansvärt när ni använder koordinatgeometri och trigonometri. Jag tror det är tänkt att man skall använda en metod i stil med Arktos eller min. Då är det enda man behöver veta är Pythagoras sats och det faktum att en tangent till cirkeln är vinkelrät mot radien.

AlvinB skrev:

Själv tycker jag ni krånglar till det något fruktansvärt när ni använder koordinatgeometri och trigonometri. Jag tror det är tänkt att man skall använda en metod i stil med Arktos eller min. Då är det enda man behöver veta är Pythagoras sats och det faktum att en tangent till cirkeln är vinkelrät mot radien.

Vad som är tänkt att använda är svårt att säga eftersom TS själv skapat frågan.
Jag tycker att både din och Arktos lösning på problemet är mycket eleganta. Jag testade att de fungerade och som sagt mycket eleganta lösningar.
Det påminner mig om en motorcyklist jag såg på TV som gjorde konster när han hoppade med motorcykeln.
Det såg ut som att han hoppade av motorcykeln lyckades greppa tag i bakskärmen och drog motorcykeln under sig och landade lyckligt. Inget att rekommendera för nybörjare, men något att sikta på och drömma om kanske.

För Nataschas del handlar det mer om repetition av matte 1 och matte 2 och att skaffa grundkunskaper.
Därför är det en jättebra uppgift att repetera och lära sig följande:

1) Räta linjens ekvation och att förstå vad k och m står för.
2) Bisektriser och hur de fungerar och i det här fallet kan man också använda bisektrissatsen.
3) Repetition av trigonometri från årskurs ett går bra att tillämpa också.
4) Ekvationslösning med hjälp av två räta linjer.
5) Koordinatgeometri bör man behärska på ett tidigt stadium i årskurs 3.
6) Geometri och att kunna rita skalenliga figurer är också viktigt. Även om det numera verkar vara omodernt?

Så jag hoppas att Natascha vill fortsätta med uppgiften, men kanske jag behöver hjälp, för min pedagogik verkar inte att passa Natascha riktigt?

Natascha skrev:
Men jag förstår verkligen INTE hur ni ser vad lutningen blir för bisektris1, bisektris2 och bisektris3. Jag kan verkligen ej se det! Förlåt för att jag verkligen drar ut på det här men samtidigt blir jag främst så ledsen att jag ej förstår efter 48-49 kommentarer HUR jag ska gå tillväga för att få fram lutningen för samtliga bisektriser. Jag förstod inte ConnyN:s senaste kommentar om hur x respektive y ökar med 1... Hur ser ni detta i figuren? Likaså trodde jag att punkten: (8,0) var en av punkterna på bisektrisen men den punkten finns inte där... Jag förstår verkligen inte detta men samtidigt har jag löst liknande uppgifter massor av gånger utan någon som helst trigonometri... 🤦‍♀️

Lite tråkigt att höra. En bild kommer här som kanske kan förklara en del även om den är spegelvänd mot din bild.

Den bisektris jag bratar om börjar mitt på basen i stora triangeln och lutar snett upp 45 grader eftersom den delar en rät vinkel i två delar. Där ser du att en ruta på x-axeln (stora triangelns bas) ger en rutas stigning på y-axeln (stora triangelns höjd) Det känner du väl till?

Jo visst passar din pedagogik mig ConnyN. Jag tycker att du förklarar på ett sätt som inte låter så avancerat. Uppgiften kanske är lite avancerad men det går alltid att tolka uppgifter på ett enkelt sätt och det tycker jag att du gör.

Med din bild som du bifogade nyligen så ser jag givetvis att då (x) hoppar med 1 så ökar givetvis (y) med 1. Det är jag med på. Jag tyckte bara att det var extremt otydligt i min bild som jag postade.

OK då fortsätter vi väl då 😊

Då kan vi använda formeln $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ och väljer två punkter på linjen t.ex. origo som jag placerat mitt på stora triangelns baslinje och ytterligare en valfri punkt. Då ser vi att värdet på k blir.....

Värdet på m ser vi också utan uträkning då vi börjar i origo eller hur?

ConnyN skrev:
AlvinB skrev:
[...]
Vad som är tänkt att använda är svårt att säga eftersom TS själv skapat frågan.
Jag tycker att både din och Arktos lösning på problemet är mycket eleganta. Jag testade att de fungerade och som sagt mycket eleganta lösningar.
Det påminner mig om en motorcyklist jag såg på TV som gjorde konster när han hoppade med motorcykeln.
Det såg ut som att han hoppade av motorcykeln lyckades greppa tag i bakskärmen och drog motorcykeln under sig och landade lyckligt. Inget att rekommendera för nybörjare, men något att sikta på och drömma om kanske.
[...]

Fast jag tycker inte att dessa metoder är så svåra att komma på. För mitt tillvägagångssätt är allt man behöver kunna egentligen Pythagoras sats och det faktum att en tangent är vinkelrät mot radien. Arktos metod kräver ännu mindre. Jag tycker dessa metoder är mer rimliga eftersom geometriavsnittet i Matte 2 bekantar en väl med just dessa moment.

Att börja väva in trigonometri och särskilt koordinatgeometri känns för mig som att gå över ån efter vatten. I mina ögon är det jag och Arktos gjorde metoder som lämpar sig bättre för någon som nyligen läst Matte 2. Att börja blanda in trigonometri och koordinatgeometri gör det inte bara mer beräkningstungt och invecklat, utan försvårar enligt min mening förståelsen. Att det är bra att repetera dessa moment håller jag självklart med om, men då tycker jag att man skall göra det på uppgifter där det faktiskt är en smart strategi att använda dessa kunskaper. Att veta för vilka problem en viss strategi är lämplig är också något som man behöver lära sig.

Om man nu prompt vill använda trigonometri tycker jag att man skall köra på metoden det verkar som Ebola är inne på i början av tråden. Då slipper man i alla fall koordinatgeometri och räta linjens ekvation.

Med trigonometri i den stora triangeln får man ju att $\tan(a)=8/15$ och därmed att $a=\tan^{-1}(8/15)$ . Analyserar man vidare den mindre triangeln till vänster har den toppvinkel $a/2=\tan^{-1}(8/15)/2$ . Tangens i denna triangel ger:

$\tan(\dfrac{\tan^{-1}(8/15)}{2})=\dfrac{r}{15-r}$

ur vilket vi kan lösa ut att:

$r=\dfrac{15\tan(\tan^{-1}(8/15)/2)}{1+\tan(\tan^{-1}(8/15)/2)}=3$

För ett ordentligt bevis krävs dock att man visar att det krångliga trigonometriska uttrycket är exakt lika med $3$ , men detta är en utmaning som heter duga. (Det är svårt, till och med på Matte 4-nivå!)

AlvinB skrev:
För ett ordentligt bevis krävs dock att man visar att det krångliga trigonometriska uttrycket är exakt lika med $3$ , men detta är en utmaning som heter duga. (Det är svårt, till och med på Matte 4-nivå!)

Nåja, härledning av halva vinkeln är inget speciellt utan brukar vara en vanlig uppgift i Ma4-böcker:

$\cos (a) = \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{2}} \cos (\frac{a}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (a)}{2}}$

Detta ger att:

$\tan (\frac{a}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{1 + \cos (a)}}$

Så vi får slutligen:

$r = (15 - r) \tan (\frac{a}{2}) = (15 - r) \sqrt{\frac{1 - \frac{15}{17}}{1 + \frac{15}{17}}} = \frac{15 - r}{4} \Leftrightarrow r = 3$

Med det visat må sägas att din lösning var väldigt elegant och en typisk "Hur kunde jag inte se det?"-lösning.

Jag är ledsen att jag blev lite för ivrig och ber alla om ursäkt för det. Hoppas att du inte tappade sugen Natascha.
Här kommer mitt förslag på lösning:

Något jag fortfarande tycker saknas är en motivering till varför en linje genom cirkelns medelpunkt är en bisektris. Vad har vi på den fronten?

Jag vet inte hur vederhäftig den här länken är, men sökningar på nätet verkar att stödja teorin.
http://matmin.kevius.com/trianglar.php

Under avsnittet bisekris ligger förklaringen i länken.

Jag vet att det stämmer, jag bara undrade vad du hade för tanke när det gäller att visa att så är fallet. Det måste man ju ha med i sin lösning.

(Angående din länk vet jag att många är skeptiska till Bruno Kevius hemsida då han betraktas som något utav en rättshaverist, men hans matematiska kunskaper verkar vara ganska goda utifrån vad jag kan se)

Alvin jag är inte på den nivån även om jag har börjat nosa på bevis i matte4.

ConnyN skrev:
Alvin jag är inte på den nivån även om jag har börjat nosa på bevis i matte4.

Det krävs inga Matte 4-kunskaper för det, det är inte mer avancerat än det ni redan gjort här i tråden. :-)

Jag skulle resonera som så att när vi drar en linje från cirkelns medelpunkt till ett av hörnen bildas två rätvinkliga trianglar. Vi vet att två av sidorna är samma (radien och den delade sidan). Pythagoras sats ger då att även den tredje sidan är samma, och då kan vi konstatera att trianglarna är kongruenta (kongruensfallet med sida-sida-sida). Eftersom trianglarna är kongruenta är deras toppvinklar lika stora och därmed måste den dragna linjen vara en bisektris.

Det är dock viktigt att man inkluderar en liknande motivering i sin lösning och inte bara tar för givet att linjen är en bisektris.

OK det var en bra genomgång även om du glömde nämna det du skrev vid din figur tidigare. "För mitt tillvägagångssätt är allt man behöver kunna egentligen Pythagoras sats och det faktum att en tangent är vinkelrät mot radien."
Då blev allt tydligt och klart när jag tittade på din figur. Jag tackar för genomgången eftersom det kommer att bli en hel del bevisstudier vad jag förstått både i mina matematik som fysik-studier.

Tillägg: Lite väl hård tycker jag nog att du var angående koordinatgeometri och räta linjens ekvation. Så märkvärdigt är det väl inte. Då har jag större problem med herr Euklides och trianglarne. :-)