Behöver en ännu mer pedagogisk förklaring än vad redan hittat på PA :)

Någon som bor 4 km från "centrum" bor någonstans på en cirkel med radie 4 km med centrum i "centrum".  Man vet inte åt vilket håll personen bor (utan extra information).  Se bilden i 3477 a). 

f(x) är befolkningstätheten i personer per kvadratkilometer.

För att få det till antal personer måste du multiplicera med en area.  Arean är storleken på "cirkelringen" som är 2*pi*x*dx.  Sedan "summerar" du över alla cirkelringar när du integrerar.

Att bara integrera f(x)dx skulle inte ge antalet personer, då dx inte är en area (utan en sträcka).

Hej!

I en cirkelring vars inre radie är $r$ och vars yttre radie är $r+\text{d}r$ (där $\text{d}r$ är ett mycket litet positivt tal) bor det $f(r)$ stycken personer per areaenhet.

Cirkelringens area är lika med

    $\pi(r+\text{d}r)^2 - \pi r^2$

och är ungefär lika med

    $2\pi r \text{d}r$,

eftersom talet $(\text{d}r)^2$ är mycket mindre än talet $\text{d}r$ och därför kan försummas; jämför exempelvis $\text{d}r = 0.0001$ med $(\text{d}r)^2 = 0.00000001$.

Antalet personer som bor i denna cirkelring är därför lika med

    $\displaystyle f(r) \cdot 2\pi r \text{d}r.$

Eftersom en cirkel är uppbyggd av flera cirkelringar, så är antalet personer ($N(4)$) som bor i en cirkel med radie 4 lika med integralen av antalet personer som bor i cirkelringar vars radier sträcker sig från 0 till 4.

    Error converting from LaTeX to MathML

Albiki

Hej!

    $\displaystyle N(4) = \int_0^4 f(r) \cdot 2\pi r \text{d}r .$

Albiki

Tack till båda för förklaringar. Nu ser jag att råkade missa att det e^funktionen var en täthet funktion... Så ja, täthet x area verkar vara en rimligt sätt att beräkna invånare i en cirkulär område...