Begynnelsevärdesproblem ordinär differentialekvation

Hej. Har problem med att lösa en differentialekvation av första ordningen;

u’ = -u(t) + sin(5t) + cos(2t) , 0 <= t <= 5 ( <= betyder: större eller lika med)
u(0) = 2
u(t) = ?

Den skall lösas analytiskt (exakt).

Här är ett exempel på liknande;

u’ = -u(t) + sin(t) + cos(t) , 0 <= t <= 4
u(0) = u0
analytisk lösning: u(t) = sin(t) + u0*e^(-t)

varför blir inte lösningen på exemplet:

u(t) = cos(t) + sin(t) + u0*e^(-t) ??

u’(t) = u(t) är ett annat ex.

här är ju väldigt uppenbart u(t) = e^t då derivatan av u är ekvivalent med den primitiva funktionen.

Tacksam för hjälp!!

Om du i stället skriver:

$u ´ (t) + u (t) = \sin (t) + \cos (t) 1 : u (t) = \sin (t) + u_{0} e^{- t} 2 : u' (t) = \cos (t) - u_{0} e^{- t}$

Vad blir summan av 1+2?

Välkommen till Pluggakuten!

Genom att multiplicera ekvationen med den integrerande faktorn $e^t$ och använda Produktregeln för derivering kan differentialekvationen skrivas på en form som låter dig bestämma den exakta lösningen.

$(u(t)e^t)' = e^t sin 5t + e^t cos 2t.$

Integrationskonstanten bestäms av begynnelsevillkoret.

Albiki

Ja okej. Förstår tyvärr inte riktigt ändå men tack för hjälp!

Affe hur menar du med summa?

Albiki ska jag utveckla den formeln på något sätt tänker du?

tack!

Hej!

Integration av ekvationens båda led ger

$u(t)e^{t} = u(0) + \int_{0}^{t}e^{s}\sin 5s \,\text{d}s + \int_{0}^{t}e^{s}\cos 2s\,\text{d}s.$

Beräkna nu de två integralerna och skriv resultatet så att u(t) ensamt står på vänster sida.

Albiki

Elinidab skrev :
Ja okej. Förstår tyvärr inte riktigt ändå men tack för hjälp!
Affe hur menar du med summa?
Albiki ska jag utveckla den formeln på något sätt tänker du?
tack!

summa=addition=plussa....t.ex. 5=3+2
rad 1: + rad 2: =

Albiki skrev :
Hej!
Integration av ekvationens båda led ger
$u(t)e^{t} = u(0) + \int_{0}^{t}e^{s}\sin 5s \,\text{d}s + \int_{0}^{t}e^{s}\cos 2s\,\text{d}s.$
Beräkna nu de två integralerna och skriv resultatet så att u(t) ensamt står på vänster sida.
Albiki

...

$u ´ (t) + u (t) = \sin (5 t) + \cos (2 t) 1 : u (t) = A \sin (5 t) + B \cos (5 t) + C \sin (2 t) + D \cos (2 t) + E u_{0} e^{- t} 2 : u' (t) = 5 A \cos (5 t) - 5 B \sin (5 t) + 2 C \cos (2 t) - 2 D \sin (2 t) - E u_{0} e^{- t} 1 : + 2 : \Rightarrow . . A - 5 B = 1 B + 5 A = 0 C - 2 D = 0 D + 2 C = 1 . . A - 5 B = 1 5 B + 25 A = 0 C - 2 D = 0 2 D + 4 C = 1 . . 26 A = 1 A = \frac{1}{26} B = - \frac{5}{26} 5 C = 1 C = \frac{1}{5} D = - \frac{1}{10} . . u (0) = - \frac{5}{26} - \frac{1}{10} + E u_{0} = u_{0} E = . . .$

Affe Jkpg skrev :
...
$u ´ (t) + u (t) = \sin (5 t) + \cos (2 t) 1 : u (t) = A \sin (5 t) + B \cos (5 t) + C \sin (2 t) + D \cos (2 t) + E u_{0} e^{- t} 2 : u' (t) = 5 A \cos (5 t) - 5 B \sin (5 t) + 2 C \cos (2 t) - 2 D \sin (2 t) - E u_{0} e^{- t} 1 : + 2 : \Rightarrow . . A - 5 B = 1 B + 5 A = 0 C - 2 D = 0 D + 2 C = 1 . . A - 5 B = 1 5 B + 25 A = 0 C - 2 D = 0 2 D + 4 C = 1 . . 26 A = 1 A = \frac{1}{26} B = - \frac{5}{26} 5 C = 1 C = \frac{1}{5} D = - \frac{1}{10} . . u (0) = - \frac{5}{26} - \frac{1}{10} + E u_{0} = u_{0} E = . . .$

Dä va nått ja inte hann mä förut....

$u ´ (t) + u (t) = \sin (5 t) + \cos (2 t) 1 : u (t) = A \sin (5 t) + B \cos (5 t) + C \sin (2 t) + D \cos (2 t) + E 2 : u' (t) = 5 A \cos (5 t) - 5 B \sin (5 t) + 2 C \cos (2 t) - 2 D \sin (2 t) 1 : + 2 : \Rightarrow . . A - 5 B = 1 B + 5 A = 0 C - 2 D = 0 D + 2 C = 1 . . A - 5 B = 1 5 B + 25 A = 0 C - 2 D = 0 2 D + 4 C = 2 . . 26 A = 1 A = \frac{1}{26} B = - \frac{5}{26} 5 C = 2 C = \frac{2}{5} D = \frac{1}{5} . . u (0) = - \frac{5}{26} + \frac{1}{5} + E = 2 E = 2 + \frac{5}{26} - \frac{1}{5} = 2 + \frac{25 - 26}{130} = 2 - \frac{1}{130}$

Det ser inte så roligt ut ... så det borde vara något fel :-)

Svara

Visa senaste svar