begynnelsevärdesproblem

Hej

jag har en uppgift inom differentialekvationer som jag inte förstår hur man ska lösa, jag har ett exempel men förstår inte riktigt hur dom kommer fram till svaret.

Uppgiften är:

Lös begynnelsevärdesproblemet $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x {(\frac{d y}{d x})}^{2}$ där y(0)=1 och y`(0)=-2

Jag ser i exemplet att dom har börjat med att sätta v=dy/dx och får att $\frac{d v}{d x} = x v^{2}$ och $\frac{d v}{v^{2}} = x d x$ för att sedan få $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{C_{1}}{2} \Rightarrow v = - \frac{2}{x^{2} + C_{1}}$

Jag ser ju att $x v^{2}$ blir $x {(\frac{d y}{d x})}^{2}$ då v=dy/dx men hur får man sedan i nästa steg $\frac{d v}{v^{2}} = x d x$ ?

Du är med på att man får:

$\dfrac{dv}{dx}=xv^2$

Nu vill man omvandla detta till en separabel differentialekvation, och då flyttar vi först över alla $v$ -termer på andra sidan genom att dela båda led med $v^2$

$\dfrac{dv}{dx}\cdot\dfrac{1}{v^2}=\dfrac{x\cancel{v^2}}{\cancel{v^2}}$

$\dfrac{dv}{dx}\cdot\dfrac{1}{v^2}=x$

Hur man går vidare härifrån beror lite på hur man tänker. Egentligen är det inte matematiskt korrekt att multiplicera båda led med $dx$ (eftersom $\frac{dv}{dx}$ inte är ett bråk utan notation för derivata), men det det är en hjälpsam minnesregel när man ska integrera med separabla differentialekvationer.

$\dfrac{1}{v^2}\cdot\dfrac{dv}{\cancel{dx}}\cdot\cancel{dx}=x\cdot dx$

$\displaystyle \int \frac{1}{v^2}\ dv=\int x\ dx$

Ursäkta, postade något av misstag :-)

Hej!

Om man inte vill låtsas som att derivatan $dv/dx$ är en kvot av differentialerna $dv$ och $dx$ (vilket den inte är) så kan man göra såhär.

$v'(x) = xv^2 \iff \frac{v'(x)}{v^2} = x \implies \int \frac{v'(x)}{v^2(x)}dx = \int x dx$ .

Integralen för $v$ beräknas till

$\int \frac{1}{v^2(x)} v'(x) dx = -\frac{1}{v(x)} + C$

där konstanten $C$ bestäms av begynnelsevillkoret $v(0) = -2$ .

Svara

Visa senaste svar