3 svar
171 visningar
K.Ivanovitj behöver inte mer hjälp
K.Ivanovitj 399 – Fd. Medlem
Postad: 21 sep 2018 17:00

begynnelsevärdesproblem

Hej

jag har en uppgift inom differentialekvationer som jag inte förstår hur man ska lösa, jag har ett exempel men förstår inte riktigt hur dom kommer fram till svaret.

Uppgiften är:

Lös begynnelsevärdesproblemet d2ydx2=xdydx2 där y(0)=1 och y`(0)=-2

Jag ser i exemplet att dom har börjat med att sätta v=dy/dx och får att dvdx=xv2 och dvv2=xdx för att sedan få -1v=x22-C12v=-2x2+C1 

Jag ser ju att xv2 blir xdydx2 då v=dy/dx men hur får man sedan i nästa steg dvv2=xdx ?

AlvinB 4014
Postad: 21 sep 2018 17:47 Redigerad: 21 sep 2018 17:48

Du är med på att man får:

dvdx=xv2\dfrac{dv}{dx}=xv^2

Nu vill man omvandla detta till en separabel differentialekvation, och då flyttar vi först över alla vv-termer på andra sidan genom att dela båda led med v2v^2

dvdx·1v2=xv2v2\dfrac{dv}{dx}\cdot\dfrac{1}{v^2}=\dfrac{x\cancel{v^2}}{\cancel{v^2}}

dvdx·1v2=x\dfrac{dv}{dx}\cdot\dfrac{1}{v^2}=x

Hur man går vidare härifrån beror lite på hur man tänker. Egentligen är det inte matematiskt korrekt att multiplicera båda led med dxdx (eftersom dvdx\frac{dv}{dx} inte är ett bråk utan notation för derivata), men det det är en hjälpsam minnesregel när man ska integrera med separabla differentialekvationer.

1v2·dvdx·dx=x·dx\dfrac{1}{v^2}\cdot\dfrac{dv}{\cancel{dx}}\cdot\cancel{dx}=x\cdot dx

1v2 dv=x dx\displaystyle \int \frac{1}{v^2}\ dv=\int x\ dx

Affe Jkpg 6630
Postad: 21 sep 2018 17:58 Redigerad: 21 sep 2018 18:00

Ursäkta, postade något av misstag :-)

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 21 sep 2018 19:33

Hej!

Om man inte vill låtsas som att derivatan dv/dxdv/dx är en kvot av differentialerna dvdv och dxdx (vilket den inte är) så kan man göra såhär. 

    v'(x)=xv2v'(x)v2=xv'(x)v2(x)dx=xdxv'(x) = xv^2 \iff \frac{v'(x)}{v^2} = x \implies \int \frac{v'(x)}{v^2(x)}dx = \int x dx.

Integralen för vv beräknas till

    1v2(x)v'(x)dx=-1v(x)+C\int \frac{1}{v^2(x)} v'(x) dx = -\frac{1}{v(x)} + C

där konstanten CC bestäms av begynnelsevillkoret v(0)=-2v(0) = -2.

Svara
Close