begynnelsevärdesproblem

Jag tror du menar att

y' + y/x = ln(x)

Då ln(x) är primitiv funktion till 1/x så är en integrerande faktor exp(ln(x)) = x, så

(xy)' = x*ln(x)

Integrera båda led. Vad får du?

om jag integrerar xlnx får jag $\frac{1}{4}{x}^2\left(2\ln x-1\right)+c$

men jag förstår inte hur man vet att vi ska integrera just xlnx

vi har alltså y´+y/x=lnx från början och vet att lnx är en primitiv till 1/x så långt är jag med men sen förstår jag inte nästa steg till xlnx

Hej!

Multiplicera differentialekvationens båda led

    $y'(x) + \frac{1}{x}y(x) = \ln x$

med den integrerande faktorn $e^{\ln x} = x$ för att kunna skriva ekvationen på en form som gör den lätt att integrera.

    $xy'(x) + x\frac{1}{x}y(x) = x\ln x \Leftrightarrow (xy(x))' = x\ln x\ ,$

vilket ger

    $xy(x) = C + \int_{1}^{x} t\ln t \text{d}t$ där x > 0.

Konstanten $C$ bestäms av begynnelsevillkoret $y(1) = 0$ till $C = 0$ vilket ger lösningen

    $y(x) = \frac{1}{x}\int_{1}^{x} t\ln t \text{d}t\ .$

Albiki

i facit har dom löst problemet genom att sätta

$y_g=e^{-\ln x}\left(\int e^{\ln x}*\ln xdx\right)=\frac{1}{x}\left(\int x\ln xdx\right)$ och genom partiell integration får man $\int x\ln xdx=\frac{x^2\left(2\ln x-1\right)}{4}$ så att $y_g=\frac{x}{4}\left(2\ln x-1\right)+\frac{c}{x}$ och eftersom o=y(1)=-1/4+c så får vi att c=1/4

lösningen blir då $y=\frac{x}{4}\left(2\ln x-1\right)+\frac{1}{4x}$

jag förstår inte hur man går från $\frac{x^2\left(2\ln x-1\right)}{4}$ till att få $\frac{x}{4}\left(2\ln x-1\right)+\frac{c}{x}$ i nästa steg.

Hej!

Integralen $\int_{1}^{x} t\ln t\,\text{d}t$ beräknas.

    Error converting from LaTeX to MathML

Lösningen till den ursprungliga differentialekvationen blir därför

    $y(x) = \frac{1}{2} x\ln x - \frac{1}{4}(x-\frac{1}{x})\ .$

Albiki

Integralen beräknas med partiell integrering.

    $\int_{1}^{x} t\ln t\,\text{d}t = \[\frac{t^2}{2}\ln t\]_{1}^{x} - \frac{1}{2} \int_{1}^{x} t\,\text{d}t \ .$

Eftersom $\ln 1 = 0$ blir det

    $\int_{1}^{x} t\ln t\,\text{d}t = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2} \int_{1}^{x} t\,\text{d}t = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{4}(x^2-1) \ .$

Albiki