begynnelsevärde

y'' är derivatan av y', så $x$ gånger derivatan av $v$  är lika med $x$ gånger andraderivatan av $y$, alltihop m a p $x$. Man har alltså skrivit $v'$ som $\frac{dv}{dx}$.

Man har bakat in $-2$ i konstanten $C_1$.

B.N. skrev:

Hej

jag har lite svårt att förstå vad som händer i början när man ska lösa följande uppgift:

Lös begynnelsevärdesproblemet

$x{y}^{\text{'}\text{'}}+3y\text{'}=0$,        y'(1)=2, y(1)=3

Enligt uppgiften ska man sätta v=y'

sedan ska man få $x\frac{dv}{dx}+3v=0$ men jag förstår inte var v'=y'' termen tagit vägen?

Sedan fick jag tillslut $y\text{'}=A{x}^{-3}\leftrightarrow y=\int A{x}^{-3}dx=A\left(\frac{1}{-2}\right)x^{-2}+B=\frac{C_1}{x^2}+C_2$

jag ser ju att B=C2 men var tog -2 termen för A vägen? eller behövs inte den eftersom C1 bara är en konstant?

Du undrar vart v' = y'' tog vägen, men den är ju där: $\frac{dv}{dx}$är samma sak som v' (om den oberoende variabeln är x). Den ena notationen är Newtons påhitt, den andra Leibnitz'.

Jag skulle kalla -2 som försvann för "faktor", inte "term". Eftersom A är ett godtyckligt tal väljer man att ta ett annat godtyckligt tal C1 hellre än att skriva -A/2. När allt är klart kunde man ändra namn på C1 och C2 till A och B om man bara ska presentera lösningen, men så länge man har de gamla A och B framför sig är det bäst att inte införa nya betydelser för dem.

Hej!

Om $v(x) = y'(x)$ så är $v'(x) = y''(x)$ och differentialekvationen

    $xy''(x) + 3y'(x) = 0$

är samma sak som differentialekvationen

    $xv'(x) + 3v(x) = 0 \iff v'(x) + \frac{3}{x}v(x) = 0$;

randvillkoret för $v$ är $v(1) = 2$ och jag förutsätter att $x \neq 0$.

Med hjälp av integrerande faktor finner man lösningen

    $v(x) = 2/x^3$ (kom ihåg randvillkoret $v(1) = 2$)

och detta ger funktionen $y$ via ekvationen

    $y'(x) = 2/x^3$

och randvillkoret $y(1) = 3$:

    $y(x) = 4-1/x^2$.

Albiki skrev:

Hej!

Om $v(x) = y'(x)$ så är $v'(x) = y''(x)$ och differentialekvationen

    $xy''(x) + 3y'(x) = 0$

är samma sak som differentialekvationen

    $xv'(x) + 3v(x) = 0 \iff v'(x) + \frac{3}{x}v(x) = 0$;

randvillkoret för $v$ är $v(1) = 2$ och jag förutsätter att $x \neq 0$.

Med hjälp av integrerande faktor finner man lösningen

    $v(x) = 2/x^3$ (kom ihåg randvillkoret $v(1) = 2$)

och detta ger funktionen $y$ via ekvationen

    $y'(x) = 2/x^3$

och randvillkoret $y(1) = 3$:

    $y(x) = 4-1/x^2$.

 Vad har du för integrerande faktor?