Begrepp matriser
Jag undrar över innebörden av några matrisrelaterade begrepp. Har försökt förklara respektive begrepp men vet inte om det är helt rätt:
* Ledande element: det första nollskilda elementet i en rad
* Pivotelement: ett ledande element som är lika med 1 dvs elementet för en ledande etta
* Pivotposition: positionen för ett pivotelement/ledande etta
Krävs det dessutom att matrisen står på reducerad trappstegsform för att begreppen pivotelement och pivotposition ska kunna tillämpas?
* Trappstegsform:
- alla rader bestående av enbart nollor befinner sig under alla rader med ledande element
- respektive ledande element befinner sig strikt till höger om det ledande elementet på raden ovanför
ex. men inte
* Reducerad trappstegsform:
- respektive ledande element är lika med 1 dvs varje ledande element är ett pivotelement
- varje ledande element är det enda nollskilda elementet i sin kolumn
- uppfyller villkoren för trappstegsform
ex. men inte
Kan alla matriser som kan skrivas på trappstegsform även skrivas på reducerad trappstegsform?
* Bundna variabler: variabler som hör ihop med kolonner med minst ett ledande element
* Fria variabler: variabler som hör ihop med kolonner utan minst ett ledande element
ex. ger att x1, x2 och x3 är bundna variabler
ex. ger att x1 och x3 är bundna variabler och x2 är en fri variabel
Rätta mig gärna, tacksam för svar!
Hej,
Det verkar som om de olika begreppen används i olika situationer, och informationen som finns är inte konsekvent... Jag hittar skillnader mellan Chalmers och KTH vad gäller kursmaterialet... men jag litar på Chalmers :-)
Ledande element = första nollskilda elementet i en rad, men det kanske inte måste vara en matris i trappstegsform...
Pivotelement = första nollskilda elementet på varje rad i en trappstegsformad matris
En matris i trappstegsform har reducerad trappstegsform eller radreducerad trappstegsform om dessutom:
-Alla pivotelement ärr 1.
-Over pivotelementen finns bara nollor.
Detta skiljer sig lite från det du skrev ovan. Ett pivotelement måste inte vara en etta. Jag håller inte med om ditt exempel på reducerad trappstegsform: ovanför 4 borde vara en 0 istället för en 5 i så fall.
Jag kopierade följande från http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tmv165/0708/OH_V1.pdf
----------------------------------
En matris har trappstegsform om:
1. Under en rad med bara nollor finns inget annat än nollor.
2. Det första nollskilda elementet i varje rad är till höger om det första nollskilda elementet i raden ovanför.
3. Under det första nollskilda elementet i en rad (och under nollorna till vänster om detta element) finns endast nollor.
De första nollskilda elementen i en trappstegsformad matris rader kallas pivotelement.
En matris i trappstegsform har reducerad trappstegsform eller radreducerad trappstegsform om dessutom:
4. Alla pivotelement är 1.
5. Over pivotelementen finns bara nollor.
-------------------------------
Jag såg någonstans att en trappstegsformad matris kan reduceras om det finns en konsistent lösning... Det skulle innebär att alla trappstegsmatriser inte kan reduceras. Men det återstår att verifiera...
Ursäkta om jag inte förtydligade så mycket utan snarare befäste förvirringen. Det enda rätta är att gräva fram en riktig bok i linjär algebra och se vad som står där. Det man hittar på nätet innehåller för mycket fel och inkonsekvenser...
En poäng med pivotelementet när man ska lösa ett ekvationssystem är att man vill ha det så stort som möjligt, så att avrundningsfel blir mindre när man dividerar hela raden med det. För att få det så flyttar man om kolumnerna (och kommer ihåg till senare hur man gjorde det förstås).
När man har dividerat så står det förstås 1 där.
