Begränsa område i dubbelintegral
Jag har fått i uppgift att beräkna integralen av 1/x^2*ln(y/x) dx dy där D definieras av 1<=x+y<=2, 1<=y/x<=2.
Jag får det till att
x<=y<=2x
1/3<=x<=1
För jag ritar upp linjerna och ser att det bildas en figur i vilken x och y går mellan dessa linjer och värden.
Men nåt känns fel. När jag skriver in systemet i wolfram alpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%3C%3Dx%2By%3C%3D2%2C+1%3C%3Dy%2Fx%3C%3D2
så står det att 1/3<x<=1/2, 1 - x<=y<=2 x
Och det känns fel för om jag ritar upp figuren som represtenteras av mitt system så ser den annorlunda ut.
Kan det möjligen vara som så att jag ska dela upp figuren i två delar? Där gränsen mellan dessa två figurer går där x = 2/3 ?
Edit: Eller kanske tre regioner till och med! Är jag på rätt spår där?
ger att vi ska vara ovanför linjen y = 1-x, men under linjen y = 2-x.
ger att vi ska vara ovanför linjen y = x, men under om linjen y = 2x. (obs x får inte vara 0, men det kvittar för området D ser vi)
Vi får detta område:
x ska gå mellan de två gröna prickarna, och y mellan de två röda. Känns som du fått samma.
Det stämmer ej att y enbart ska gå från x till 2x, för det gäller bara i området jag målat blått:
Ser du att y går mellan andra linjer på de andra ställena? Integralen måste delas upp... tre gånger (kul!! men det går :))
Tack för hjälpen! Nu integrerar jag med avseende på y först och får y(ln(y/x)-1)/x^2. Och detta ska alltså integreras med avseende på x tre! gånger? Bara att sätta igång :)
Frågan är hur jag fortsätter för det känns verkligen superkrångligt nu. Som att jag gjort ett misstag.
Ja eller du får ta y sist och de 3 x:en först, för att x kommer ju gå mellan y-värden. Om du gör i den här ordningen kommer du få y med i svaret.
Aha, jag fick nämligen att x gick mellan konstanter och y gick mellan x-värden. Ska jag göra annorlunda då kanske?
Nu sa jag nog fel, det där ser bra ut! Håller med om alla gränser och den primitiva funktionen. Uppgiften e nog bara rätt "jävlig", tycker om man ska va tvungen att dela in ett område i tre delar kan man väl åtminstone få funktionen f = 2x + y eller nåt. Tror du grejar resten om du är noggrann. Undrar om de tänkt man ska hitta någon variabelsubstitution eller nåt från början, men det är också jobbigt för då blandar man in jacobideterminanten o grejer. Har du ett facit? Man kan ju alltid räkna ut dessa integraler med datorn och se om det blir rätt svar, då har man fattat flervarre-delen av problemet (som alltid är svårast).
Försök med variabelbyte
u = x + y
v = y/x.
PATENTERAMERA skrev:Försök med variabelbyte
u = x + y
v = y/x.
Det känns som en god idé. Men när jag såg -termen blev jag osäker på om det i slutändan blir mer eller mindre jobb av det bytet. Vad blir den i uv-koordinater?
Räkna ut jacobianen först så klarnar det nog.
PATENTERAMERA skrev:Räkna ut jacobianen först så klarnar det nog.
Ahaa, härligt. Använd gärna denna metod istället EulerWannabe, det kan vara givande. Med min metod blev envarre-integralerna i slutändan lite väl jobbiga.
Ah, då ska jag läsa på om jacobianer. Tack så mycket för tips!
Bör jag räkna ut jakobianen innan variabelbytet eller är det nåt man gör efter att man gjort variabelbytet?
Ja läs på om variabelbyte vid multipelintegraler. Det kommer du ha nytta av. Jag tror det är den teknik man är tänkt utnyttja för att lösa detta problem.
Du måste först veta vilket variabelbyte som du skall göra innan du kan räkna ut jacobianen.
