Begär förtydligande angående baser för egenvärden

Jag behöver er hjälp med en fråga som rör baser för egenvärdena $\lambda_2$ och $\lambda_3$ i en given transformation. Jag har förstått hur man hittar basen för $\lambda_1$, men jag stöter på en förklaringsbrist när det gäller de andra två egenvärdena, $\lambda_2$ och $\lambda_3$. Transformationen är följande:

$T=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \0 & 1 & 5 & -10 \1 & 0 & 2 & 0 \1 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$

I lösningen presenteras det på detta vis:

"Egenrummet till $\lambda_1$ ges alltså t.ex. av $\left\{r\left(\begin{array}{l}0 \ 1 \ 0 \ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-2 \ 0 \ 2 \ 1\end{array}\right)\right\}$, där vektorerna $\left(\begin{array}{l}0 \ 1 \ 0 \ 0\end{array}\right)$ och $\left(\begin{array}{c}-2 \ 0 \ 2 \ 1\end{array}\right)$ är linjärt oberoende och kan därför utgöra en bas för egenrummet till $\lambda_1$."

Men när det kommer till $\lambda_2$ och $\lambda_3$, används de tredje och fjärde kolumnvektorerna från matrisen som baser. Matrisen ser ut enligt:

$M=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \0 & 1 & 5 & -10 \1 & 0 & 1 & 0 \1 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$

Min fråga är: Varför utgör de tredje och fjärde kolumnvektorerna baser för egenrummen till $\lambda_2$ och $\lambda_3$? Kan någon förklara detta mer ingående?

T.ex. vet jag att för egenvärdet $\lambda=1$ så ska man titta på $A-\lambda I$ som här blir $A-I$. Sen radreducerar man raderna i denna matris, varpå man får en ny matris. Den matrisen tolkas som ett ekvationssystem som beskriver värdena på en vektor $v$ så att $(A-\lambda I) v=0$. Vi väljer fria variabler för att förenkla representationen. Men är det så att för $\lambda_2$ och $\lambda_3$ att det är en slump att de råkade korrespondera med kolumnerna innan radreduktion?

Tack så mycket för er hjälp!