Befolkningsmängd

Låt oss dela in cirkelringen i mindre cirkelringar, alla med tjockleken dx.

Hur stor är då arean på en sådan cirkelring?

Vi kan approximera den genom att säga att det blir omkretsen gånger dx, dvs

$\pi *2*x*dx$

Hur många människor bor där då? På avståndet x från stans centrum hade vi formeln för befolkning per area så om vi multiplicerar befolkningstätheten med arean borde vi få

$\pi *2*x*dx \frac{8000}{x\sqrt{x}}$

Om vi nu vill summera över alla cirkelringar med tjockleken dx så får vi

$\sum _i\pi *2*x_i*dx \frac{8000}{x_i\sqrt{x_i}}$

Låter vi nu dx bli väldigt, väldigt tunn så kan vi gå över till att räkna ut det som en integral.

$\sum _i\pi *2*x_i*dx \frac{8000}{x_i\sqrt{x_i}}={\int }_1^4\frac{8000}{x\sqrt{x}}*\pi *2*x dx$

Tack, din förklaring var riktigt klargörande.

Jag tänkte först att man kunde beräkna arean när x = 4 resp x = 1 och bara subtrahera den ena från den andra, men det går naturligtvis inte då befolkningstätheten varierar med x.

Men jag fattar att man kan ta cirkelns omkrets, 2π*x, och multiplicera det med tjockleken (i detta fall dx). Kan man således betrakta det som en lång rektangel med sidan 2πx och höjd dx?

...dra på trissor, i föregående inlägg använde jag formeln för area då jag skulle använt formeln för omkrets. Jag har nu redigerat det.

Ja, man approximerar varje cirkelring med en rektangel vars area blir dx gånger omkretsen dvs. 2πx.

Exakt den här frågan dök nyligen upp i ett annat inlägg, för övrigt.

Ja, jag märkte det men tänkte det var säkert ett misstag :P. Tack för hjälpen, det är riktigt fascinerande hur ni resonerar kring dessa uppgifter..