Bästa sannolikhet för vinst.

Jag förstår inte om man vet vilken av askarna som tävlingsledaren tar kulan ur. Och jag förstår inte om man måste stoppa in alla kulor i askar. 

Hilda skrev:

Jag förstår inte om man vet vilken av askarna som tävlingsledaren tar kulan ur. Och jag förstår inte om man måste stoppa in alla kulor i askar. 

Jag hade samma tankar i början. Jag antar att tävlingsledaren tar en kula från en av de två askarna man lägger kulorna i. Förmodligen ska man lägga i alla kulor, det beror alltså på förhållandet mellan svarta och vita kulor i varje ask.

Jag tror att tanken är att efter att du har placerat kulorna i de två lådorna så ger du dem till tävlingsledaren. Tävlingsledaren väljer sedan en av lådorna på måfå. Hen drar sedan en kula ur asken på måfå.

Det är med andra ord 50 % sannolikhet att låda 1 väljes, och 50 % sannolikhet att låda 2 väljes.

Bedinsis skrev:

Jag tror att tanken är att efter att du har placerat kulorna i de två lådorna så ger du dem till tävlingsledaren. Tävlingsledaren väljer sedan en av lådorna på måfå. Hen drar sedan en kula ur asken på måfå.

Det är med andra ord 50 % sannolikhet att låda 1 väljes, och 50 % sannolikhet att låda 2 väljes.

Det är just här jag fastar. Hur tar man hänsyn till två olika faktorer i ett träddiagram? Dels är det ju 50% chans att man tar en av askarna, dels är det en viss sannolikhet att kulan är svart eller vit. Ponera att det i en ask finns bara en vit kula. Hur ställer man upp ett uttryck för chansen att man väljer just den kulan? Kan man skriva 0,5*1? 

Börja gärna med att testa några extrema fall.

Alla vita kulor i en av askarna och de svarta i den andra, Hur stor blir sannolikheten för vinst?

5 av vardera i var ask, hur stor är sannolikheten för vinst ?

När du svarat på det tar vi nästa steg.

Om vi har a vita kulor i den ena burken, har vi 10-a i den andra

Sannolikheten att dra en viss burk är 0,5

Sannolikheten att dra en vit kula ur en burk är a/10 för den ena burken och (10-a)/10 för den andra

Alltså

p(att ledren drar en vit kula) = 0,5*a/10 +0,5*(10-a)/10 = 0,5(a/10+(10-a)/10) = 0,5(10/10) = 0,5

Det spelar alltså ingen roll hur du lägger kulorna 

Behöver det ligga 10 kulor i varje ask?

Nej, det behöver det inte. Där tänkte jag fel.

Då får man generalisera ett steg till, vilket gör det krångligare. 

En klassiker

Finurligt !

Hur visar man att det är den högsta sannolikheten för vinst?

Jag läste det i någon av Martin Gardners böcker, sammanställda från hans spalter i Scientific American och översatta till svenka. Böckerna heter Rolig Matematik, Rolig Matematik 2 och Rolig Matematik 3, och det är faktiskt inte falsk marknadsföring. Kanske de fortfarande finns på biblioteken?!

För att svara på din fråga Ture.

Låt oss göra följande notationer:

• $v$ = antalet vita kulor i ask 1
• $t$ = totala antalet kulor i ask 1

Givet att sannolikheten för att spelledaren ska ta en kula från respektive ask är 50%, kan vi bestämma sannolikheten till:

$$\begin{gathered} p(v,t)=\frac{1}{2}(\frac{v}{t}+\frac{10-v}{20-t})=\frac{v(20-t)+(10-v)t}{2t(20-t)}=\frac{10v+5t-vt}{20t-t^2} \\ \Rightarrow p(v,t)=\frac{10v+5t-vt}{20t-t^2}. \end{gathered}$$

Nu återstår det att optimera denna funktion över det tillåtna området, vilket är $\left\{v,t:v\in \left\{0,1,...,10\right\},t\in \left\{max\left\{1,v\right\},min\left\{19,20-v\right\}\right\}\right\}$(notera att vi exkluderar möjligheten att en av askerna är tomma, eftersom att detta inte tillåts av vår funktion p(v,t). Hursomhelst kan vi behandla dessa fall separat och tillskriva de sannolikheten 50%).

Val av metod för att utföra heltalsoptimeringen överlämnar jag till läsaren, finns inbyggda paket i t.ex. Python som löser detta.

Alternativt kan man plotta funktionen p(v,t) eller bestämma gradienten för att på så sätt avgöra att maxvärdet fås då $(v,t)=(1,1)$ eller $(v,t)=(9,19)$.

Tillägg: 13 jul 2024 23:05

Eftersom att det tillåtna området är såpass få punkter, går det även bra att t.ex. programmera en loop som beräknar samtliga värden, och bestämmer det största.