Bassteg

Alla jämna tal kan skrivas som $n=2k$, det betyder att du kan skriva det som $(2k)^2+2k=4k^2+2k=2(2k^2+1)$ som alltid är ett jämnt tal.

Tror du ska byta ut n till n+1 i formeln innan du kan anta att det gäller för alla. 

lava skrev:

Hej! Jag undrar om jag tänkt rätt? 

Frågan är att bevisa att för alla naturliga tal (n) är (n^2+n) är ett jämnt tal? 

Jag antar att du ska göra ett induktionsbevis.

Då bör du visa att om det gäller för det naturliga talet n så gäller det även för n+1.

Sedan bör du visa att det gäller för det lägsta naturliga talet, dvs att det gäller då n = 0.

Därav följer att det gäller för alla naturliga tal.

Yngve skrev:

lava skrev:

Hej! Jag undrar om jag tänkt rätt? 

Frågan är att bevisa att för alla naturliga tal (n) är (n^2+n) är ett jämnt tal? 

Jag antar att du ska göra ett induktionsbevis.

Då bör du visa att om det gäller för det naturliga talet n så gäller det även för n+1.

Sedan bör du visa att det gäller för det lägsta naturliga talet, dvs att det gäller då n = 0.

Därav följer att det gäller för alla naturliga tal.

 Då mitt svar är fel?

lava skrev:

 Då mitt svar är fel?

Det beror på hur du hade tänkt fortsätta.

Är det ett induktionsbevis du ska genomföra?

Vet du hur de är uppbyggda?

Läs gärna här och fråga om det som känns oklart.

Det verkar vara onödigt att göra ett induktionsvevis här - har du fått instruktioner om att göra det?

Dela upp i två fall: n är udda och n är jämnt. Om $n$ är udda, så är $n^2$ udda och $n^2+n$ är jämnt. Om $n$ är jämnt, så är $n^2$ jämnt och $n^2+n$ är också jämnt.

Smaragdalena skrev:

Det verkar vara onödigt att göra ett induktionsvevis här - har du fått instruktioner om att göra det?

Dela upp i två fall: n är udda och n är jämnt. Om $n$ är udda, så är $n^2$ udda och $n^2+n$ är jämnt. Om $n$ är jämnt, så är $n^2$ jämnt och $n^2+n$ är också jämnt.

Ja det är enklare att göra så.

Jag antog att det var ett induktionsbevis som efterfrågades eftersom lava skrev om "bassteg", vilket jag tolkade som induktionsbasen.

Smaragdalena skrev:

Det verkar vara onödigt att göra ett induktionsvevis här - har du fått instruktioner om att göra det?

Dela upp i två fall: n är udda och n är jämnt. Om $n$ är udda, så är $n^2$ udda och $n^2+n$ är jämnt. Om $n$ är jämnt, så är $n^2$ jämnt och $n^2+n$ är också jämnt.

 Ja precis, och i mitt fall jag har valt en jämnt tal som fått i slutligen en jämnt tal! Så det måste vara rätt?

lava skrev:

Smaragdalena skrev:

Det verkar vara onödigt att göra ett induktionsvevis här - har du fått instruktioner om att göra det?

Dela upp i två fall: n är udda och n är jämnt. Om $n$ är udda, så är $n^2$ udda och $n^2+n$ är jämnt. Om $n$ är jämnt, så är $n^2$ jämnt och $n^2+n$ är också jämnt.

 Ja precis, och i mitt fall jag har valt en jämnt tal som fått i slutligen en jämnt tal! Så det måste vara rätt?

Nej, du har bara visat att det gäller för ett jämnt tal, nämligen för $n = 2$.

Om du ska använda Smaragdalenas metod måste du visa att det gäller för alla jämna tal (och för alla udda tal).

För att visa att det gäller för alla jämna tal kan du utnyttja att alla jämna tal n kan skrivas som $2\cdot k$, där $k$ är ett heltal.

Om du sätter $n=2k$ så blir ditt uttryck

$n^2+n=(2\cdot k)^2+2\cdot k=$

$=2^2\cdot k^2+2\cdot k=2\cdot 2\cdot k^2+2\cdot k$

Nu kan du bryta ut 2 ur detta uttryck och du får att det blir $2\cdot (2\cdot k^2+k)$.

Eftersom detta tal är jämnt delbart med 2 så är det ett jämnt tal.

Och det viktigaste: Eftersom detta gäller oavsett vad $k$ har för värde så har du visat att det gäller för alla jämna tal.

Hängde du med?

---------

För att visa samma sak för udda tal kan du utnyttja att alla udda tal kan skrivas som $2k+1$, där $k$ är ett heltal.

------------

Här ovan pratar jag bara om naturliga tal, dvs heltal som är större än eller lika med 0. Men det blev så ordrikt att skriva ut det överallt.

Yngve skrev:

lava skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Det verkar vara onödigt att göra ett induktionsvevis här - har du fått instruktioner om att göra det?

Dela upp i två fall: n är udda och n är jämnt. Om $n$ är udda, så är $n^2$ udda och $n^2+n$ är jämnt. Om $n$ är jämnt, så är $n^2$ jämnt och $n^2+n$ är också jämnt.

 Ja precis, och i mitt fall jag har valt en jämnt tal som fått i slutligen en jämnt tal! Så det måste vara rätt?

Nej, du har bara visat att det gäller för ett jämnt tal, nämligen för $n = 2$.

Om du ska använda Smaragdalenas metod måste du visa att det gäller för alla jämna tal (och för alla udda tal).

För att visa att det gäller för alla jämna tal kan du utnyttja att alla jämna tal n kan skrivas som $2\cdot k$, där $k$ är ett heltal.

Om du sätter $n=2k$ så blir ditt uttryck

$n^2+n=(2\cdot k)^2+2\cdot k=$

$=2^2\cdot k^2+2\cdot k=2\cdot 2\cdot k^2+2\cdot k$

Nu kan du bryta ut 2 ur detta uttryck och du får att det blir $2\cdot (2\cdot k^2+k)$.

Eftersom detta tal är jämnt delbart med 2 så är det ett jämnt tal.

Och det viktigaste: Eftersom detta gäller oavsett vad $k$ har för värde så har du visat att det gäller för alla jämna tal.

Hängde du med?

---------

För att visa samma sak för udda tal kan du utnyttja att alla udda tal kan skrivas som $2k+1$, där $k$ är ett heltal.

------------

Här ovan pratar jag bara om naturliga tal, dvs heltal som är större än eller lika med 0. Men det blev så ordrikt att skriva ut det överallt.

 Nej, jag hänger inte med faktiskt 😓

lava skrev:

 Nej, jag hänger inte med faktiskt 😓

OK ingen fara vi tar det ett steg i taget.

Vilket av följande steg hänger du inte med på?

1. Alla jämna tal är jämnt delbara med 2

2. Det innebär att om $n$ är ett jämnt tal så är $n/2$ ett heltal.

3. Vi kan kalla detta heltal för $k$. Det betyder att $n/2=k$.

4. Detta kan även skrivas $n=2k$.

5. Vi har nu konstaterat att alla jämna tal $n$ kan skrivas $2k$, där $k$ är ett heltal.

6. Nu använder vi detta för att se hur uttrycket $n^2+n$ ser ut om $n$ är ett jämnt tal, dvs om $n=2k$.

7. Om $n=2k$ så är $n^2+n=(2k)^2+(2k)$.

8. Om vi förenklar detta uttryck får vi att $n^2+n=4k^2+2k$

9. Om vi bryter ut faktorn 2 ur högerledet får vi att $n^2+n=2(2k+k)$

10. Det betyder att $\frac{n^2+n}{2}=\frac{2(2k+k)}{2}=2k+k$.

11. Eftersom $k$ är ett heltal så är även $2k+k$ ett heltal.

12. Det betyder att  $\frac{n^2+n}{2}$ är ett heltal.

13. Det betyder att $n^2+n$ är ett jämnt tal.

14. Eftersom detta gäller oavsett vad $k$ har för värde så gäller detta för alla jämna tal $n$.

Yngve skrev:

lava skrev:

 Nej, jag hänger inte med faktiskt 😓

OK ingen fara vi tar det ett steg i taget.

Vilket av följande steg hänger du inte med på?

1. Alla jämna tal är jämnt delbara med 2

2. Det innebär att om $n$ är ett jämnt tal så är $n/2$ ett heltal.

3. Vi kan kalla detta heltal för $k$. Det betyder att $n/2=k$.

4. Detta kan även skrivas $n=2k$.

5. Vi har nu konstaterat att alla jämna tal $n$ kan skrivas $2k$, där $k$ är ett heltal.

6. Nu använder vi detta för att se hur uttrycket $n^2+n$ ser ut om $n$ är ett jämnt tal, dvs om $n=2k$.

7. Om $n=2k$ så är $n^2+n=(2k)^2+(2k)$.

8. Om vi förenklar detta uttryck får vi att $n^2+n=4k^2+2k$

9. Om vi bryter ut faktorn 2 ur högerledet får vi att $n^2+n=2(2k+k)$

10. Det betyder att $\frac{n^2+n}{2}=\frac{2(2k+k)}{2}=2k+k$.

11. Eftersom $k$ är ett heltal så är även $2k+k$ ett heltal.

12. Det betyder att  $\frac{n^2+n}{2}$ är ett heltal.

13. Det betyder att $n^2+n$ är ett jämnt tal.

14. Eftersom detta gäller oavsett vad $k$ har för värde så gäller detta för alla jämna tal $n$.

 Jaha okej! Men hur kan 1^2 + 1 = 2 bevisa detta? Jaså min kompis har svarat exakt samma fråga på en tenta och svaret blev rätt..

lava skrev:

 Jaha okej! Men hur kan 1^2 + 1 = 2 bevisa detta? Jaså min kompis har svarat exakt samma fråga på en tenta och svaret blev rätt..

Nej att $1^2+1=2$ bevisar inte att $n^2+n$ är ett jämnt tal för alla naturliga tal $n$.

Det är orimligt att din kompis skulle fått full poäng på frågan om frågan och svaret var formulerade exakt så.

Har du tillgång till frågans exakta ordalydelse? Kan du kanske ladfa upp en bild?

Yngve skrev:

lava skrev:

 Jaha okej! Men hur kan 1^2 + 1 = 2 bevisa detta? Jaså min kompis har svarat exakt samma fråga på en tenta och svaret blev rätt..

Nej att $1^2+1=2$ bevisar inte att $n^2+n$ är ett jämnt tal för alla naturliga tal $n$.

Det är orimligt att din kompis skulle fått full poäng på frågan om frågan och svaret var formulerade exakt så.

Har du tillgång till frågans exakta ordalydelse? Kan du kanske ladfa upp en bild?

lava skrev:

Ja det var ett helt annat svar än det du skrev tidigare och en helt annan lösning än den vi förklarat för dig här. Dessutom var det en början på ett induktionsbevis.

Vi hade sparat massor av tid om du hade visat detta från början.

Förstår du första delen av din kompis svar?

Alltså det som står ovanför "Alternativt ett induktionsbevis"?

Yngve skrev:

lava skrev:

Visa föregående citat

Ja det var ett helt annat svar än det du skrev tidigare och en helt annan lösning än den vi förklarat för dig här. Dessutom var det en början på ett induktionsbevis.

Vi hade sparat massor av tid om du hade visat detta från början.

Förstår du första delen av din kompis svar?

Alltså det som står ovanför "Alternativt ett induktionsbevis"?

 Sorry! Men jag fått denna lösning från henne idag!  är hennes förklaring och svar samma som ni förklarat här? 

lava skrev:

 Sorry! Men jag fått denna lösning från henne idag!  är hennes förklaring och svar samma som ni förklarat här? 

OK sorry jag trodde att du hade den hela tiden.

Nej hennes förklaring och svar är helt annorlunda än det vi har försökt förklara här.

Den är enklare att förstå men jag tycker att det saknas en viktig del i beviset, nämligen att visa att produkten av ett udda och ett jämnt tal i sig är ett jämnt tal. Det är inte svårt att visa, men hon förutsätter bara att det är så utan att visa det, vilket jag tycker är en (smärre) brist.

Satsa på att förstå hennes förklaring i första hand.

Yngve skrev:

lava skrev:

 Sorry! Men jag fått denna lösning från henne idag!  är hennes förklaring och svar samma som ni förklarat här? 

OK sorry jag trodde att du hade den hela tiden.

Nej hennes förklaring och svar är helt annorlunda än det vi har försökt förklara här.

Den är enklare att förstå men jag tycker att det saknas en viktig del i beviset, nämligen att visa att produkten av ett udda och ett jämnt tal i sig är ett jämnt tal. Det är inte svårt att visa, men hon förutsätter bara att det är så utan att visa det, vilket jag tycker är en (smärre) brist.

Satsa på att förstå hennes förklaring i första hand

 Det Lungt ☺️ Ja absolut, ska försöka! Men alltså när jag kolla på hennes förklaring (som hon fått en jämnt svar ) är oxå samma som mitt sätt! 

Yngve skrev:

lava skrev:

 Sorry! Men jag fått denna lösning från henne idag!  är hennes förklaring och svar samma som ni förklarat här? 

OK sorry jag trodde att du hade den hela tiden.

Nej hennes förklaring och svar är helt annorlunda än det vi har försökt förklara här.

Den är enklare att förstå men jag tycker att det saknas en viktig del i beviset, nämligen att visa att produkten av ett udda och ett jämnt tal i sig är ett jämnt tal. Det är inte svårt att visa, men hon förutsätter bara att det är så utan att visa det, vilket jag tycker är en (smärre) brist.

Satsa på att förstå hennes förklaring i första hand.

Om inte annat så har ju jag bevisat i första kommentaren hur man gör om n är ett jämnt tal. Samma går att utföra för udda. (edit: fast ett litet fel har letat sig in. Fasen) :)

Ett induktionsbevis känns bara...varför?

woozah skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

lava skrev:

Visa föregående citat

 Sorry! Men jag fått denna lösning från henne idag!  är hennes förklaring och svar samma som ni förklarat här? 

OK sorry jag trodde att du hade den hela tiden.

Nej hennes förklaring och svar är helt annorlunda än det vi har försökt förklara här.

Den är enklare att förstå men jag tycker att det saknas en viktig del i beviset, nämligen att visa att produkten av ett udda och ett jämnt tal i sig är ett jämnt tal. Det är inte svårt att visa, men hon förutsätter bara att det är så utan att visa det, vilket jag tycker är en (smärre) brist.

Satsa på att förstå hennes förklaring i första hand.

 

Om inte annat så har ju jag bevisat i första kommentaren hur man gör om n är ett jämnt tal. Samma går att utföra för udda. (edit: fast ett litet fel har letat sig in. Fasen) :)

 

Ett induktionsbevis känns bara...varför?

 🤷🏻‍♀️🤦🏼‍♀️

lava skrev:

 Det Lungt ☺️ Ja absolut, ska försöka! Men alltså när jag kolla på hennes förklaring (som hon fått en jämnt svar ) är oxå samma som mitt sätt! 

Nej.

Hennes förklaring består av 2 olika delar.

Den första delen (grönmarkerat i bilden nedan) förklarar varför uttrycket $n^2+n$ är ett jämnt tal. Denna del bör du lägga tid på att verkligen förstå.

Den andra delen (rödmarkerat i bilden nedan) är en början på något som kallas induktionsbevis. Det är alltså inte en fullständigt bevis och därför ska du inte lägga tid på att försöka förstå den delen. Om hon endast hade skrivit denna del som svar på tentan så skulle hon inte fått full poäng.

Yngve skrev:

lava skrev:

 Det Lungt ☺️ Ja absolut, ska försöka! Men alltså när jag kolla på hennes förklaring (som hon fått en jämnt svar ) är oxå samma som mitt sätt! 

Nej.

Hennes förklaring består av 2 olika delar.

Den första delen (grönmarkerat i bilden nedan) förklarar varför uttrycket $n^2+n$ är ett jämnt tal. Denna del bör du lägga tid på att verkligen förstå.

Den andra delen (rödmarkerat i bilden nedan) är en början på något som kallas induktionsbevis. Det är alltså inte en fullständigt bevis och därför ska du inte lägga tid på att försöka förstå den delen. Om hon endast hade skrivit denna del som svar på tentan så skulle hon inte fått full poäng.

 Men får man inget poäng alls även om man skrev det röda delen?!

Att BARA skriva det röda borde ge 0 poäng, eftersom det inte är ett helt induktionsbevis.