Basfärdigheter i algebra; Algebraiska förenklingar; Blandade övningar 1.40

Hej!

Jag har inte gjort några matteuppgifter på länge och går just nu igenom boken "Basfärdigheter i Algebra" (andra upplagan) och har fastnat på uppgift 1.40:

"Bestäm värdet av (1/x) + (1/y) om du vet att (x/y) + x = (y/x) + y.
x är inte lika med y."

Övningen är med i första kapitlet som handlar om algebraiska förenklingar med användning av kvadrerings- och konjugatregeln, kubregeln och kvadratkomplettering. Men jag har inte hittat något sätt att applicera dessa regler till att lösa uppgiften, även när jag kollade upp svaret (-1).

Kan någon hjälpa mig?

Man kan massera det kända sambandet lite och se vad som händer. Om man ordnar så att termerna som liknar varandra hamnar på samma sida så får man först x/y - y/x = y - x. Vänsterledet här kan man skriva på gemensam nämnare. Hur blir det då?

Laguna skrev:
Man kan massera det kända sambandet lite och se vad som händer. Om man ordnar så att termerna som liknar varandra hamnar på samma sida så får man först x/y - y/x = y - x. Vänsterledet här kan man skriva på gemensam nämnare. Hur blir det då?

Så här har jag försökt men fastnat på nytt. Det kanske går att lösa med polynomdivision (fastän det kommer först i nästa kapitel)?

Behåll xy i nämnaren i VL och använd konjugatregeln på täljaren i VL. Förkorta så att du får ett tal i HL.

Skriv sedan om uttrycket $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ på gemensamt bråkstreck. Sedan är du praktiskt taget klar, bara du inser det...

$\frac{x}{y} + x = \frac{y}{x} + y \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = y - x \frac{x^{2} - y^{2}}{x y} = y - x \frac{(x + y) (x - y)}{x y} = y - x y - x = - (x - y) \frac{(x + y) (x - y)}{x y} = - (x - y) (x + y) (x - y) = - x y (x - y) (x + y) (x - y) + x y (x - y) = 0 (x - y) ((x + y) + x y) = 0$

Med (x-y)((x+y)+xy)=0 så är (x-y)=0. Om (x-y)=0 så betyder det att x=y vilket uppgiften säger inte är sant. Då återstår ((x+y)+xy)=0.

$((x + y) + x y) = 0 x + y + x y = 0 x + y (1 + x) = 0 y = \frac{- x}{1 + x}$

Nu finns det ett uttryck för y som vi kan använda.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{- x}{1 + x}} = \frac{1}{x} + \frac{1 + x}{- x} = \frac{1}{x} - \frac{1 + x}{x}$

Se om du kan göra sista biten själv.

Tack för hjälpen, jag förstår nu!
Det som är svårt för mig är att se lösningar till vissa problem, t.ex. att man bara kan ändra på y - x... Jag antar att jag bara behöver lite mer övning. Det finns faktiskt en likadan uppgift i boken som jag inte heller kunde lösa, jag gissar eftersom jag inte har samma tänkesätt som i den här övningen. Jag ska försöka lösa denna nu med hjälp av det jag har lärt mig här.

Enligt mig var det en rätt svår uppgift, mer av en kluring. Men lösningen innehåller koncept man kan använda på mer normala uppgifter.

Svara

Visa senaste svar