17 svar
660 visningar
abcdefg 274
Postad: 5 nov 2019 10:09

Baser och vektorer

"Bestäm a+b samt a-b när a=e1+6e2 och b=4e1-5e2"

Jag förstår inte riktigt hur jag ska förstå det här med baser. Går det att rita/visualisera på något förståeligt sätt? 

Qetsiyah 6567 – Livehjälpare
Postad: 5 nov 2019 11:12 Redigerad: 5 nov 2019 11:12

Baserna kan också kallas enhetsvektorer. Den enklaste vektorn (utom nollvektorn) är ju vektorn med längden 1 och som är parallell med en av axklarna. Om du vill ha en vektor som går längs x-axeln så kan du helt enkelt multiplicera x-enhetsvektorn med ett tal. Tex ex*3 ger en vektor som är tre lång och parallell med xaxeln. e1 och e2 har jag inte sett förrut men de menar ex och ey

emilg 478
Postad: 5 nov 2019 11:13

Ja, du kan rita e1e_{1} i godtycklig riktning och sedan e2e_{2} i en annan godtycklig riktning. När du tar a+b så tar du helt enkelt 1st e1e_{1} från a och 4st e1e_{1} från b och lägger ihop. Samma med e2e_{2}. Tänkt att du byter ut e1 och e2 mot x och y. Det blir samma sak.

abcdefg 274
Postad: 5 nov 2019 11:38
Qetsiyah skrev:

Baserna kan också kallas enhetsvektorer. Den enklaste vektorn (utom nollvektorn) är ju vektorn med längden 1 och som är parallell med en av axklarna. Om du vill ha en vektor som går längs x-axeln så kan du helt enkelt multiplicera x-enhetsvektorn med ett tal. Tex ex*3 ger en vektor som är tre lång och parallell med xaxeln. e1 och e2 har jag inte sett förrut men de menar ex och ey

Tack!

abcdefg 274
Postad: 5 nov 2019 11:38
emilg skrev:

Ja, du kan rita e1e_{1} i godtycklig riktning och sedan e2e_{2} i en annan godtycklig riktning. När du tar a+b så tar du helt enkelt 1st e1e_{1} från a och 4st e1e_{1} från b och lägger ihop. Samma med e2e_{2}. Tänkt att du byter ut e1 och e2 mot x och y. Det blir samma sak.

Tack!

emilg 478
Postad: 5 nov 2019 12:14
Qetsiyah skrev:

e1 och e2 har jag inte sett förrut men de menar ex och ey

Då hade de nog skrivit det ;) Med e1 och e2 menas två godtyckliga basvektorer. De behöver inte vara ortogonala t.ex.

abcdefg 274
Postad: 5 nov 2019 12:27
emilg skrev:

Ja, du kan rita e1e_{1} i godtycklig riktning och sedan e2e_{2} i en annan godtycklig riktning. När du tar a+b så tar du helt enkelt 1st e1e_{1} från a och 4st e1e_{1} från b och lägger ihop. Samma med e2e_{2}. Tänkt att du byter ut e1 och e2 mot x och y. Det blir samma sak.

Du nämnde att e1 och e2 kan ritas i en godtycklig riktning, men då borde väl inte svaret för a+b samt a-b bli samma som om man ritar dem längs x-axeln (1;0) samt y-axeln (0;6). Eller tänker jag helt fel? Svaret på  a+b ska bli (5;1) men då har de väl utgått från att baserna är ritade mot x-axeln och y-axeln? 

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 5 nov 2019 12:49 Redigerad: 5 nov 2019 13:13

Jag bifogar en bild. Basbegreppet är ett mycket centralt moment i linjär algebra.

  Låt e1\mathbf{e}_1 och e2\mathbf{e}_2 vara två icke-parallella vektorer i planet.

I figuren noterar vi att a=ax+ay=1·e1+6·e2\mathbf{a}=\mathbf{a}_x+\mathbf{a}_y=1\cdot \mathbf{e}_1+ 6\cdot \mathbf{e}_2.

Vi utnyttjar därmed det faktum, att de röda vektorerna är parallella med e1\mathbf{e}_1 resp. e2\mathbf{e}_2.

Vidare: Vektorerna  e1\mathbf{e}_1 och e2\mathbf{e}_2 utgör en bas i planet.

I uttrycket 1·e1+6·e21\cdot \mathbf{e}_1+ 6\cdot \mathbf{e}_2 är 16\begin{bmatrix} 1\\6\end{bmatrix} koordinaterna för a med avseende på basen {e1,e2}\{\mathbf{e}_1 , \mathbf{e}_2\}.

Anm Basen är ortogonal om basvektorerna är inbördes ortogonala.

Är dessutom basvektorernas längder lika med 1, har vi en
ortonormerad bas eller en ON-bas. Detta gäller i nedanstående figur.

Analogt resonerar vi för vektorn b, som på koordinatform skrivs 4-5\begin{bmatrix} 4\\-5\end{bmatrix}, eller hur?

Nu är det en enkel sak att beräkna a+b resp. a-b. Överens?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 5 nov 2019 12:52
abcdefg skrev:
emilg skrev:

Ja, du kan rita e1e_{1} i godtycklig riktning och sedan e2e_{2} i en annan godtycklig riktning. När du tar a+b så tar du helt enkelt 1st e1e_{1} från a och 4st e1e_{1} från b och lägger ihop. Samma med e2e_{2}. Tänkt att du byter ut e1 och e2 mot x och y. Det blir samma sak.

Du nämnde att e1 och e2 kan ritas i en godtycklig riktning, men då borde väl inte svaret för a+b samt a-b bli samma som om man ritar dem längs x-axeln (1;0) samt y-axeln (0;6). Eller tänker jag helt fel? Svaret på  a+b ska bli (5;1) men då har de väl utgått från att baserna är ritade mot x-axeln och y-axeln? 

Prova att rita ett koordinatsystem där e1 är "två rutor åt höger" och e2 är "en ruta åt höger och tre rutor uppåt".  Rita in vektorerna aa och bb dels i detta koordinatsystem, dels i ett vanligt ortonormerat koordinatsystem. Lägg upp bilderna här. Ser de likadana ut?

abcdefg 274
Postad: 5 nov 2019 13:42 Redigerad: 5 nov 2019 13:44
Smaragdalena skrev:
abcdefg skrev:
emilg skrev:

Ja, du kan rita e1e_{1} i godtycklig riktning och sedan e2e_{2} i en annan godtycklig riktning. När du tar a+b så tar du helt enkelt 1st e1e_{1} från a och 4st e1e_{1} från b och lägger ihop. Samma med e2e_{2}. Tänkt att du byter ut e1 och e2 mot x och y. Det blir samma sak.

Du nämnde att e1 och e2 kan ritas i en godtycklig riktning, men då borde väl inte svaret för a+b samt a-b bli samma som om man ritar dem längs x-axeln (1;0) samt y-axeln (0;6). Eller tänker jag helt fel? Svaret på  a+b ska bli (5;1) men då har de väl utgått från att baserna är ritade mot x-axeln och y-axeln? 

Prova att rita ett koordinatsystem där e1 är "två rutor åt höger" och e2 är "en ruta åt höger och tre rutor uppåt".  Rita in vektorerna aa och bb dels i detta koordinatsystem, dels i ett vanligt ortonormerat koordinatsystem. Lägg upp bilderna här. Ser de likadana ut?

Okej, jag testade att rita e1 och e2 så som du beskrev (a fick tyvärr inte plats i koordinatsystemet). Skulle jag då kunna säga att både (3;23) och (5;1) är en lösning till a+b? 

Jag vet tyvärr inte vad ett ortonormerat koordinatsystem är, det är inget vi gått igenom ännu. 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 5 nov 2019 14:05
abcdefg skrev:
Smaragdalena skrev:
abcdefg skrev:
emilg skrev:

Ja, du kan rita e1e_{1} i godtycklig riktning och sedan e2e_{2} i en annan godtycklig riktning. När du tar a+b så tar du helt enkelt 1st e1e_{1} från a och 4st e1e_{1} från b och lägger ihop. Samma med e2e_{2}. Tänkt att du byter ut e1 och e2 mot x och y. Det blir samma sak.

Du nämnde att e1 och e2 kan ritas i en godtycklig riktning, men då borde väl inte svaret för a+b samt a-b bli samma som om man ritar dem längs x-axeln (1;0) samt y-axeln (0;6). Eller tänker jag helt fel? Svaret på  a+b ska bli (5;1) men då har de väl utgått från att baserna är ritade mot x-axeln och y-axeln? 

Prova att rita ett koordinatsystem där e1 är "två rutor åt höger" och e2 är "en ruta åt höger och tre rutor uppåt".  Rita in vektorerna aa och bb dels i detta koordinatsystem, dels i ett vanligt ortonormerat koordinatsystem. Lägg upp bilderna här. Ser de likadana ut?

Okej, jag testade att rita e1 och e2 så som du beskrev (a fick tyvärr inte plats i koordinatsystemet). Skulle jag då kunna säga att både (3;23) och (5;1) är en lösning till a+b? 

Jag vet tyvärr inte vad ett ortonormerat koordinatsystem är, det är inget vi gått igenom ännu. 

Jag förstår verkligen inte vad din bild har att göra med det som jag bad dig att rita. Du har ritat ut vektorn e1+e2 rätt, men det var inte med i uppgiften.

Ett ortogonalt koordinatsystem är ett koordinatsystem där basvektorerna är ortogonala, d v s vinkelräta mot varandra, och normerade, d v s basvektorerna har längden 1 - d v s ett alldeles vanligt koordinatsystem som man lärde sig redan på grundskolan. Nu när du är på universitetet behöver du lämna alla förutfattade meningar, som att det är självklart att basvektorerna är vinkelräta mot varandra och att de är lika långa.

Försök igen att rita så som jag beskrev! Gör först ett rutnät med skeva rutor (det underliggande rutiga pappret underlättar), rita ut vektorn aa, rita ut vektorn bb, rita ut vektorn a+ba+b, rita ut vektorn a-ba-b, lägg in bilden här.

Qetsiyah 6567 – Livehjälpare
Postad: 5 nov 2019 21:50 Redigerad: 5 nov 2019 21:51
emilg skrev:
Qetsiyah skrev:

e1 och e2 har jag inte sett förrut men de menar ex och ey

Då hade de nog skrivit det ;) Med e1 och e2 menas två godtyckliga basvektorer. De behöver inte vara ortogonala t.ex.

Så pass? Kan då vilka vektrorer som helst som inte är linjärt beroende vara baser och spänna upp nåt område?

PATENTERAMERA 5931
Postad: 5 nov 2019 21:56
Qetsiyah skrev:
emilg skrev:
Qetsiyah skrev:

e1 och e2 har jag inte sett förrut men de menar ex och ey

Då hade de nog skrivit det ;) Med e1 och e2 menas två godtyckliga basvektorer. De behöver inte vara ortogonala t.ex.

Så pass? Kan då vilka vektrorer som helst som inte är linjärt beroende vara baser och spänna upp nåt område?

I ett tvådimensionellt vektorrum är två linjärt oberoende vektorer alltid en bas för vektorrummet.

Qetsiyah 6567 – Livehjälpare
Postad: 5 nov 2019 21:58
PATENTERAMERA skrev:
Qetsiyah skrev:
emilg skrev:
Qetsiyah skrev:

e1 och e2 har jag inte sett förrut men de menar ex och ey

Då hade de nog skrivit det ;) Med e1 och e2 menas två godtyckliga basvektorer. De behöver inte vara ortogonala t.ex.

Så pass? Kan då vilka vektrorer som helst som inte är linjärt beroende vara baser och spänna upp nåt område?

I ett tvådimensionellt vektorrum är två linjärt oberoende vektorer alltid en bas för vektorrummet.

Så gäller samma för R^n om vi har n linjärt oberoende vektorer?

Ja?

PATENTERAMERA 5931
Postad: 5 nov 2019 22:06 Redigerad: 5 nov 2019 22:35
Qetsiyah skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Qetsiyah skrev:
emilg skrev:
Qetsiyah skrev:

e1 och e2 har jag inte sett förrut men de menar ex och ey

Då hade de nog skrivit det ;) Med e1 och e2 menas två godtyckliga basvektorer. De behöver inte vara ortogonala t.ex.

Så pass? Kan då vilka vektrorer som helst som inte är linjärt beroende vara baser och spänna upp nåt område?

I ett tvådimensionellt vektorrum är två linjärt oberoende vektorer alltid en bas för vektorrummet.

Så gäller samma för R^n om vi har n linjärt oberoende vektorer?

Ja?

Ja det gäller generellt för n-dimensionella vektorrum (n<).

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 5 nov 2019 22:24
Qetsiyah skrev:
emilg skrev:
Qetsiyah skrev:

e1 och e2 har jag inte sett förrut men de menar ex och ey

Då hade de nog skrivit det ;) Med e1 och e2 menas två godtyckliga basvektorer. De behöver inte vara ortogonala t.ex.

Så pass? Kan då vilka vektrorer som helst som inte är linjärt beroende vara baser och spänna upp nåt område?

Två vektorer, vilka som helst, bara de inte är nollvektorer och de inte är parallella, kan spänna upp planet. De behöver inte vara vinkelräta. De behöver inte vara lika långa.

abcdefg 274
Postad: 6 nov 2019 11:47
dr_lund skrev:

Jag bifogar en bild. Basbegreppet är ett mycket centralt moment i linjär algebra.

  Låt e1\mathbf{e}_1 och e2\mathbf{e}_2 vara två icke-parallella vektorer i planet.

I figuren noterar vi att a=ax+ay=1·e1+6·e2\mathbf{a}=\mathbf{a}_x+\mathbf{a}_y=1\cdot \mathbf{e}_1+ 6\cdot \mathbf{e}_2.

Vi utnyttjar därmed det faktum, att de röda vektorerna är parallella med e1\mathbf{e}_1 resp. e2\mathbf{e}_2.

Vidare: Vektorerna  e1\mathbf{e}_1 och e2\mathbf{e}_2 utgör en bas i planet.

I uttrycket 1·e1+6·e21\cdot \mathbf{e}_1+ 6\cdot \mathbf{e}_2 är 16\begin{bmatrix} 1\\6\end{bmatrix} koordinaterna för a med avseende på basen {e1,e2}\{\mathbf{e}_1 , \mathbf{e}_2\}.

Anm Basen är ortogonal om basvektorerna är inbördes ortogonala.

Är dessutom basvektorernas längder lika med 1, har vi en
ortonormerad bas eller en ON-bas. Detta gäller i nedanstående figur.

Analogt resonerar vi för vektorn b, som på koordinatform skrivs 4-5\begin{bmatrix} 4\\-5\end{bmatrix}, eller hur?

Nu är det en enkel sak att beräkna a+b resp. a-b. Överens?

Tack för bra förklaring! Dock är jag fortfarande inte med på varför ax, som är parallell med e1 ,motsvarar x-koordinaten och ay, som är parallell med e2 , motsvarar y-koordinaten. Kan det inte vara tvärtom? Om så är fallet, blir inte svaret annorlunda då? (Är något trögfattad när det kommer till detta område)

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 6 nov 2019 11:53 Redigerad: 6 nov 2019 11:55

Som du ser av min figur har jag medvetet valt ett "vanligt rätvinkligt koordinatsystem" där x-axeln har e1\mathbf{e}_1 som riktningsvektor, och motsvarande för y-axeln. Notera också att jag medvetet har valt enhetslängd på basvektorerna, dvs

|e1|=|e2|=1|\mathbf{e}_1|=|\mathbf{e}_2|=1. Hoppas detta är svar på din fundering.

Svara
Close