Baser (linjär algebra)

Jag har inte kollat dina räkningar, men troligen har både du och facit rätt. 
V1 och V2 är linjärt oberoende, så eftersom dimensionen är 2 borde varje par av linjärt oberoende vektorer bilda en bas.

Tillägg: 9 dec 2022 14:05

OBS, felaktigt formulerat, ska vara ”varje par av linj ober vektorer i B” se förtydligande nedan.

Mogens skrev:

Jag har inte kollat dina räkningar, men troligen har både du och facit rätt. 
V1 och V2 är linjärt oberoende, så eftersom dimensionen är 2 borde varje par av linjärt oberoende vektorer bilda en bas.

Bara för att vara tydlig, varje par av linjärt oberoende vektorer i $\mathbb{R}^4$ är inte en bas för $V$.

För att vara säker på facit fått ett linjärt oberoende baspar som också spänner $V$ kan man studera om facits vektorer kan uttryckas som en linjärkombination av $v_1$ och $v_2$. Om det inte är möjligt har facit fel.

detta är facits lösning, de har valt att stapla vektorerna till en matris  i en annan ordning än vad jag gjort, och därmed får de ett annorlunda svar. Min fråga är: spelar det roll vilken ordning man lägger upp vektorerna i en matris? Kommer det påverka vilken som är linjärt beroende eller inte? 

Ordningen spelar ingen roll. Men som du ser kan man få olika svar, vilka alla är rätt. Det finns således flera rätta svar. Eftersom V uppenbarligen har dimension 2, så utgör varje val av två linjärt oberoende vektorer i den givna mängden en bas för V.

D4NIEL skrev:

Mogens skrev:

Jag har inte kollat dina räkningar, men troligen har både du och facit rätt. 
V1 och V2 är linjärt oberoende, så eftersom dimensionen är 2 borde varje par av linjärt oberoende vektorer bilda en bas.

Bara för att vara tydlig, varje par av linjärt oberoende vektorer i $\mathbb{R}^4$ är inte en bas för $V$.

För att vara säker på facit fått ett linjärt oberoende baspar som också spänner $V$ kan man studera om facits vektorer kan uttryckas som en linjärkombination av $v_1$ och $v_2$. Om det inte är möjligt har facit fel.

Tack DA4IEL, slarvigt formulerat av mig.

4 dimensioner är ju litet svårt att visualisera. Men tänker vi oss ett plan i den tredimensionella rymden kan man se det framför sig. Varje par av linjärt oberoende vektorer i planet är en bas i detta plan.